Números
Números
Al terminar vas a poder resolver una combinación de operaciones sin romper el orden, decidir si un problema pide mcm o MCD y calcularlo con la descomposición prima, y operar con enteros explicando por qué el signo queda como queda.
22 de las 60 preguntas. Junto con Geometría son el 75 % del examen.
Reglas de la prueba de sétimo: no se permite calculadora, los dibujos no están a escala, y los resultados aproximados vienen redondeados al décimo o al centésimo. Sin calculadora gana el que ordena el procedimiento, no el que calcula rápido.
Potencias: una sola idea y tres reglas que salen de ella
Una potencia es una multiplicación repetida: 2⁵ significa 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Con eso presente, las reglas se deducen contando factores.
- Misma base, multiplicando: a³ · a⁴ es (a·a·a) por (a·a·a·a), o sea siete factores. Por eso se suman: a³ · a⁴ = a⁷.
- Misma base, dividiendo: a⁷ ÷ a⁴ tacha cuatro de siete y deja tres. Por eso se restan: a³.
- Potencia de potencia: (a³)⁴ repite a³ cuatro veces, o sea doce factores. Por eso se multiplican: a¹².
- Todo número elevado a 0 vale 1, salvo el propio 0: a³ ÷ a³ = a⁰, y es un número dividido entre sí mismo.
Atención: las reglas piden la misma base. En 2³ · 5² no se suma nada: hay que calcular 8 · 25 = 200.
El orden de operaciones, que es donde se pierden más preguntas
- Paréntesis, de adentro hacia afuera.
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Sumas y restas, de izquierda a derecha.
Resuelto paso a paso: 12 + 3 · (8 − 2³) ÷ 2
- Paréntesis, y adentro primero la potencia: 2³ = 8, entonces 8 − 8 = 0.
- Queda 12 + 3 · 0 ÷ 2. De izquierda a derecha: 3 · 0 = 0, y 0 ÷ 2 = 0.
- Suma: 12 + 0 = 12. El distractor típico es 15, de sumar 12 + 3 antes de multiplicar.
Teoría de números: divisores, primos y descomposición
- Divisor o factor: un número que divide exacto a otro. 3 es divisor de 12.
- Múltiplo: el resultado de multiplicar un número por un entero. 12 es múltiplo de 3.
- Primo: tiene exactamente dos divisores, el 1 y él mismo. Compuesto: tiene más de dos.
El 1 no es primo ni compuesto, porque tiene un solo divisor: ni llega a dos ni pasa de dos. El 2 es el único primo par, porque cualquier otro par tiene al 2 de divisor y ya van tres.
Descomposición prima, con 60: dividís siempre entre el primo más chico que quepa, hasta llegar a 1. 60 ÷ 2 = 30; 30 ÷ 2 = 15; el 2 ya no cabe, probás 3 y 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Los divisores usados fueron 2, 2, 3 y 5: 60 = 2² · 3 · 5.
mcm y MCD: el mismo material, dos preguntas distintas
Mínimo Común Múltiplo: se toman todos los factores primos que aparezcan, cada uno con el mayor exponente. Máximo Común Divisor: se toman solo los factores comunes, cada uno con el menor exponente.
La razón está en la palabra. Un múltiplo común contiene a los dos números, así que necesita todo lo que cada uno trae: todos los factores, exponente mayor. Un divisor común cabe en los dos, así que no puede llevar nada que a uno le falte: solo los comunes, exponente menor.
Resuelto con 24 y 36. Descomponés: 24 = 2³ · 3 y 36 = 2² · 3².
- mcm: todos los primos, mayor exponente → 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.
- MCD: solo los comunes, menor exponente → 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
Cómo saber cuál usar en un problema:
| Lo que describe el problema | Operación | Por qué |
|---|---|---|
| Algo se repite y hay que ver cuándo coinciden | mcm | Se busca un momento múltiplo de los dos ciclos |
| Repartir en grupos iguales lo más grandes posible | MCD | Se busca un tamaño que divida exacto a ambas cantidades |
Y fijate en el tamaño del resultado: el mcm es mayor o igual que los números; el MCD, menor o igual. Eso solo ya descarta opciones.
Números enteros: la recta manda
- Recta numérica: los negativos a la izquierda del cero. Más a la derecha es mayor, así que −2 > −7.
- Opuesto: el mismo número con el signo cambiado. El opuesto de −5 es 5.
- Valor absoluto: la distancia al cero, sin signo. |−5| = 5, y nunca es negativo.
El error clásico: creer que −7 es mayor que −2 porque 7 es mayor que 2. Mirá la recta: −7 está más a la izquierda, y a la izquierda todo es menor. Deber ₡7.000 es estar peor que deber ₡2.000.
Reglas de signos:
- Sumar dos del mismo signo: se suman y se conserva el signo. −6 + (−3) = −9.
- Sumar dos de distinto signo: se restan y queda el signo del de mayor valor absoluto. −9 + 4 = −5.
- Multiplicar o dividir: iguales dan positivo, distintos dan negativo.
Potencia de base negativa: exponente par da positivo, (−2)⁴ = 16; exponente impar da negativo, (−2)³ = −8. Los negativos se emparejan: cada dos dan positivo, y si el exponente es impar sobra uno.
Cuidado con el paréntesis: (−2)⁴ = 16, pero −2⁴ = −16. Sin paréntesis, la potencia se aplica solo al 2.
Raíces: la raíz es la operación inversa de la potencia. Si 5² = 25, entonces √25 = 5.
Ejemplos resueltos
1. Calculá (−3)² + (−4) · 2 − √16 Potencias y raíz primero: (−3)² = 9, √16 = 4. Después la multiplicación: (−4) · 2 = −8. Queda 9 − 8 − 4 = −3.
2. Dos alarmas suenan cada 15 y cada 20 minutos. Si suenan juntas a las 8:00, ¿cuándo coinciden otra vez? Coincidir en el tiempo es mcm. 15 = 3 · 5 y 20 = 2² · 5. Mayor exponente de cada primo: 2² · 3 · 5 = 60 minutos, o sea a las 9:00.
3. Se arman bolsas iguales con 18 lápices y 24 borradores, sin que sobre nada y con la mayor cantidad de bolsas. Repartir en grupos es MCD. 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3. Comunes con menor exponente: 2 · 3 = 6 bolsas, cada una con 3 lápices y 4 borradores.
4. Simplificá (2³ · 2⁴) ÷ 2⁵ Arriba se suman: 3 + 4 = 7, o sea 2⁷. Al dividir se resta: 7 − 5 = 2. Queda 2² = 4.
5. Ordená de menor a mayor: −5, |−8|, 0, −12, 3 Primero |−8| = 8. Luego, de izquierda a derecha en la recta: −12, −5, 0, 3, 8.
Los errores que más se cobran
- Llamar primo al 1. Nace de pensar «solo se divide por sí mismo». Contá divisores: primo es el que tiene exactamente dos, y el 1 tiene uno.
- Confundir mcm con MCD. Coincidir en el tiempo es mcm; repartir en grupos es MCD. Y el resultado avisa: el mcm es grande, el MCD es chico.
- Ordenar mal los negativos. Viene de comparar por el tamaño de la cifra y no por la posición en la recta. A la izquierda, menor.
- Dar valor absoluto negativo. Es una distancia al cero, y ninguna distancia lo es.
- Olvidar el paréntesis en potencias de base negativa: −2⁴ = −16, porque el signo queda afuera.
- Sumar antes de multiplicar, o sumar exponentes con bases distintas. Los dos son aplicar una regla fuera de su condición: la suma va de última, y los exponentes solo se suman con la misma base.
Clave de análisis
Toda esta área se vuelve a armar con tres preguntas. La primera es de qué está hecho el número: la descomposición en primos resuelve a la vez el mcm y el MCD. La segunda es qué pide el problema: si hay ciclos que se encuentran, el resultado tiene que ser mayor que los datos y es mcm; si hay que repartir sin que sobre, menor, y es MCD.
La tercera es dónde está el cero. Con la recta a la vista, el orden de los negativos deja de ser un truco: más a la izquierda, menor, y el valor absoluto es la distancia a ese cero. Las reglas de signos se reconstruyen emparejando —cada dos negativos dan positivo—, y las de potencias, contando factores: multiplicar los junta, dividir los tacha, elevar repite el grupo.