Cuadriláteros: tipos y propiedades

Al terminar vas a poder ordenar los cuadriláteros en una familia según cuántos pares de lados paralelos tienen, deducir por qué sus ángulos internos suman 360°, y decidir si una afirmación como «todo cuadrado es rombo» es verdadera o falsa.

Un cuadrilátero es cuatro lados, y ahí empieza todo

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Tiene cuatro vértices, cuatro ángulos internos y dos diagonales, que son los segmentos que unen vértices no vecinos.

Hay muchos nombres —trapecio, romboide, rombo, cuadrado— y estudiarlos como lista suelta es la manera segura de confundirlos. Se ordenan solos si hacés una pregunta: ¿cuántos pares de lados paralelos tiene? Solo hay tres respuestas posibles, y cada una es una familia.

La familia se decide por el paralelismo, no por el tamaño ni por los ángulos. Los ángulos y los lados congruentes sirven después, para separar dentro de cada familia.

Por qué los cuatro ángulos suman 360°

Este dato no hay que aceptarlo sin más: sale de lo que ya sabés de triángulos.

Tomá cualquier cuadrilátero y trazá una diagonal. Quedó partido en dos triángulos, y los ángulos de esos dos triángulos son exactamente los cuatro ángulos del cuadrilátero, repartidos. Como cada triángulo aporta 180°, el total es 2 × 180 = 360°.

De ahí sale todo lo que se pide en los ejercicios: si te dan tres ángulos, el cuarto es 360 menos la suma de los otros tres.

Los paralelogramos: la familia con más propiedades

Un paralelogramo tiene los dos pares de lados opuestos paralelos. De esa única condición se desprenden tres propiedades que valen para todos ellos:

• Los lados opuestos son congruentes.
• Los ángulos opuestos son congruentes.
• Las diagonales se cortan en su punto medio, o sea se bisecan.

Y una más que se usa mucho: dos ángulos consecutivos son suplementarios, suman 180°. Sale de que los ángulos opuestos son iguales y los cuatro suman 360°: si dos pares son iguales, cada par de vecinos se lleva la mitad de 360.

Dentro de la familia, los cuatro tipos se separan agregando condiciones de a una:

• Romboide: el paralelogramo general, sin nada extra.
• Rectángulo: se le exigen los cuatro ángulos rectos.
• Rombo: se le exigen los cuatro lados congruentes.
• Cuadrado: se le exigen las dos cosas: cuatro ángulos rectos y cuatro lados congruentes.

Por eso el cuadrado es a la vez rectángulo y rombo: cumple las dos exigencias. Y por eso la afirmación «todo cuadrado es rombo» es verdadera, mientras que «todo rombo es cuadrado» es falsa: un rombo puede tener los cuatro lados iguales y los ángulos torcidos.

Las diagonales también separan la familia, y con razón: en el rectángulo son congruentes entre sí; en el rombo son perpendiculares y bisecan los ángulos; en el cuadrado, congruentes y perpendiculares, porque es las dos cosas a la vez.

Los trapecios: un solo par de paralelos

En un trapecio, los lados paralelos se llaman bases (una mayor y una menor) y los otros dos, lados no paralelos. La distancia entre las bases es la altura.

Se separan por lo que pasa con esos dos lados no paralelos:

• Trapecio isósceles: los dos lados no paralelos son congruentes. Sus ángulos de cada base son congruentes y sus diagonales son congruentes.
• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos, o sea uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.
• Trapecio escaleno: ninguna de las dos cosas.

Ejemplos resueltos

1. Tres ángulos de un cuadrilátero miden 80°, 95° y 110°. ¿Cuánto mide el cuarto? Los cuatro suman 360°. Sumo los conocidos: 80 + 95 = 175; 175 + 110 = 285. El cuarto es 360 − 285 = 75°. Comprobación: 80 + 95 + 110 + 75 = 360.

2. En un paralelogramo, un ángulo mide 65°. ¿Cuánto miden los otros tres? El opuesto es congruente: 65°. Los dos consecutivos son suplementarios del de 65°: 180 − 65 = 115° cada uno. Comprobación: 65 + 65 + 115 + 115 = 360.

3. ¿Es verdadera la frase «todo rectángulo es un paralelogramo»? Sí. El rectángulo se define como un paralelogramo con los cuatro ángulos rectos, así que ya trae las dos parejas de lados paralelos. Al revés no: un romboide es paralelogramo y no tiene ángulos rectos.

4. Un rombo tiene lado de 9 cm. ¿Cuál es su perímetro? El rombo tiene los cuatro lados congruentes, así que el perímetro es 4 × 9 = 36 cm. Fijate que no hizo falta saber los ángulos: el perímetro solo depende de los lados.

5. Un cuadrilátero tiene exactamente un par de lados paralelos y dos ángulos de 90°. ¿Qué es? Un par de paralelos lo ubica en la familia trapecio. Los dos ángulos rectos lo precisan: es un trapecio rectángulo. No puede ser paralelogramo, porque para eso necesitaría dos pares de lados paralelos.

Los errores que más se cobran

1. Estudiar los nombres como lista suelta. Sin la pregunta del paralelismo, rombo y romboide se confunden siempre. Con ella, los dos caen en paralelogramos y se separan por los lados.
2. Decir que «todo rombo es cuadrado». La inclusión va en un solo sentido. El cuadrado exige lados congruentes y ángulos rectos; el rombo solo lo primero, así que cumple menos condiciones y es la categoría más amplia.
3. Creer que los ángulos de un cuadrilátero suman 180°. Ese es el triángulo. El cuadrilátero se parte en dos triángulos con una diagonal, así que aporta el doble: 360°.
4. Confundir «diagonales congruentes» con «diagonales perpendiculares». Congruentes es del rectángulo; perpendiculares es del rombo. El cuadrado tiene las dos porque es rectángulo y rombo a la vez.
5. Llamar trapecio a cualquier figura de cuatro lados rara. El trapecio exige exactamente un par de lados paralelos. Si no hay ninguno, es un trapezoide.
6. Tomar la altura del trapecio como si fuera un lado. La altura es la distancia perpendicular entre las bases. En el trapecio rectángulo coincide con un lado, y de ahí viene la confusión; en los demás, no.

Clave de análisis

Los cuadriláteros no son una lista de siete nombres: son un árbol con una sola raíz. La raíz es la pregunta ¿cuántos pares de lados paralelos hay? Cero da trapezoide, uno da trapecio, dos da paralelogramo. Esa pregunta sola ya ordena todos los nombres del tema.

Dentro de los paralelogramos, la segunda pregunta es qué condición extra se le exige: ángulos rectos da rectángulo, lados congruentes da rombo, las dos juntas dan cuadrado, y ninguna deja el romboide. Por eso el cuadrado está en el fondo del árbol y hereda todas las propiedades de los que están arriba de él: las de paralelogramo, las de rectángulo y las de rombo. Esa herencia es la que contesta sola todas las preguntas de «¿es verdad que todo X es Y?».

Y para los ángulos no hay nada que recordar: una diagonal parte cualquier cuadrilátero en dos triángulos, y dos triángulos aportan 2 × 180 = 360°. Si se te olvida el número, trazá la diagonal mentalmente y vuelve a aparecer.