Relaciones y álgebra

7 de las 60 preguntas: el área más pequeña, y por eso conviene asegurarla. Salen de dos ideas nada más, y las dos se comprueban con una operación.

Sucesiones: buscar la regla, no adivinar el siguiente

Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla, y esa regla se llama ley de formación. Lo que la prueba cobra no es acertar el término siguiente: es describir la regla.

Cómo encontrarla, en orden:

1. Restá cada término del siguiente. Si la diferencia es siempre la misma, la sucesión suma o resta esa cantidad.
2. Si no, dividí. Si el cociente es constante, la sucesión multiplica por ese número.
3. Comprobá la regla con al menos tres términos antes de darla por buena.

El orden no es casual: primero restar, después dividir. Restar resuelve la mayoría de los casos; dividir se reserva para cuando la diferencia crece.

Hallá la ley de 5, 10, 20, 40…

1. Restás: 10 − 5 = 5, pero 20 − 10 = 10. La diferencia no es constante, así que no suma.
2. Dividís: 10 ÷ 5 = 2, 20 ÷ 10 = 2, 40 ÷ 20 = 2. El cociente sí es constante.
3. La regla: cada término es el doble del anterior, y el siguiente es 80.

De la diferencia constante a la forma algebraica

En 3, 7, 11, 15… la diferencia es siempre 4, así que cada término suma 4 al anterior. Para escribirlo en lenguaje algebraico hay un procedimiento, no un truco:

1. La diferencia constante es 4, entonces la regla empieza con 4n.
2. Probás 4n con la posición 1: 4 · 1 = 4, pero el primer término es 3. Sobra 1.
3. Ajustás restando esa diferencia: el término n es 4n − 1.
4. Comprobás con otra posición: 4 · 3 − 1 = 11, y el tercer término es 11. ✓

Con 2, 5, 8, 11… la diferencia vale 3, la regla arranca en 3n, y como 3 · 1 = 3 mientras el primero es 2, el término n es 3n − 1. Comprobalo con el cuarto: 3 · 4 − 1 = 11. ✓

La diferencia constante te da el número que multiplica a n; el ajuste sale de comparar con el primer término. Con esos dos pasos, cualquier sucesión de diferencia constante se escribe sola.

La ley se puede expresar de tres maneras, y la prueba pide pasar de una a otra: en lenguaje natural («se suma 4»), en tabla (posición y término) y en forma algebraica (4n − 1).

Proporcionalidad: dos comportamientos, dos comprobaciones

• Directa: si una cantidad crece, la otra crece en la misma proporción, y el cociente entre ellas se mantiene. Más kilos, más precio.
• Inversa: si una crece, la otra disminuye, y el producto entre ellas se mantiene. Más trabajadores, menos días.

Cómo distinguirlas sin equivocarse: no lo decidás de vista, probalo con los datos.

• En la directa, dividí un par de valores: el resultado es siempre el mismo.
• En la inversa, multiplicalos: el resultado es siempre el mismo.

La razón de fondo es sencilla. En la directa no cambia el valor de una unidad: el precio del kilo. En la inversa no cambia el total del trabajo: la obra completa. Por eso una se comprueba dividiendo y la otra multiplicando.

Por qué la gráfica directa pasa por el origen: si una cantidad vale 0, la otra también; cero kilos cuestan cero colones. La inversa nunca toca los ejes: con 0 trabajadores la obra no termina nunca.

Los dos ejercicios que caen, resueltos

Directa. Si 3 kg de arroz cuestan ₡2.400, ¿cuánto cuestan 7 kg?

1. Si crecen los kilos, crece el precio: es directa.
2. Buscás la constante dividiendo: 2400 ÷ 3 = ₡800 por kilo.
3. Multiplicás por la cantidad pedida: 7 × 800 = ₡5.600.

Inversa. Si 4 trabajadores hacen una obra en 18 días, ¿cuánto tardan 6?

1. Si crecen los trabajadores, bajan los días: es inversa.
2. Buscás la constante multiplicando: 4 × 18 = 72 días de trabajo.
3. Dividís entre la cantidad pedida: 72 ÷ 6 = 12 días.

Cómo no confundirlas: antes de operar, preguntate qué pasa si la primera cantidad crece. Si la otra crece, dividís para hallar la constante; si baja, multiplicás.

Ejemplos resueltos

1. Hallá la ley de formación de 4, 9, 14, 19… Restás: 9 − 4 = 5, 14 − 9 = 5, 19 − 14 = 5. Diferencia constante 5, así que arranca en 5n. Con la posición 1: 5 · 1 = 5 y el primero es 4, sobra 1. El término n es 5n − 1.

2. ¿Cuál es el término que ocupa la posición 10 en 3, 7, 11, 15…? La ley es 4n − 1. Sustituís n = 10: 4 · 10 − 1 = 39. No hace falta escribir los diez términos.

3. Una tabla muestra 2 → 10, 4 → 20, 5 → 25. ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Dividís cada par: 10 ÷ 2 = 5, 20 ÷ 4 = 5, 25 ÷ 5 = 5. El cociente se mantiene, así que es directa, con constante 5 y ley y = 5x.

4. Una tabla muestra 2 → 30, 3 → 20, 6 → 10. ¿Directa o inversa? Restar y dividir no dan constante, pero multiplicás: 2 × 30 = 60, 3 × 20 = 60, 6 × 10 = 60. El producto se mantiene: es inversa, con constante 60.

5. Si 5 pintores pintan un local en 12 horas, ¿cuánto tardan 10? Más pintores, menos horas: inversa. Constante: 5 × 12 = 60, y 60 ÷ 10 = 6 horas. Menos que 12, como tenía que ser.

Los errores que más se cobran

1. Dar la ley de formación con solo dos términos. Con dos números siempre se puede inventar una regla; hace falta comprobarla con tres.
2. Confundir proporcionalidad directa con inversa. Nace de decidir de vista. Se resuelve probando: dividir para la directa, multiplicar para la inversa.
3. Creer que toda relación creciente es proporcional. Que las dos cantidades suban no basta: la directa exige cociente constante.
4. Confundir el término con su posición. En 4n − 1, la n es el lugar, no el número. La posición 10 da el término 39.
5. Buscar diferencia constante en una sucesión multiplicativa. Si restar no da constante, el paso siguiente es dividir.
6. No comprobar el resultado en la inversa. Si con más trabajadores te dieron más días, la operación quedó al revés.

Clave de análisis

Las sucesiones no se resuelven con ojo sino con dos pruebas en orden: restás, y si la diferencia es constante la sucesión suma; si no, dividís, y si el cociente es constante la sucesión multiplica. Hay que confirmarlo con tres términos, porque con dos siempre se arma una regla que después falla. Y para pasar a lenguaje algebraico se usa el mismo dato: la diferencia constante es el número que acompaña a n, y el ajuste sale de comparar lo que da n = 1 con el primer término real.

La proporcionalidad se reconstruye preguntando qué cosa permanece igual. En la directa no cambia el valor de una unidad —el precio del kilo—, y por eso se halla dividiendo. En la inversa no cambia el total del trabajo —la obra entera—, y por eso se halla multiplicando. De esa sola idea salen las cuatro representaciones: la verbal, la tabular (cociente o producto constante), la algebraica (y = kx o y · x = k) y la gráfica, porque la directa pasa por el origen —cero kilos, cero colones— y la inversa nunca toca los ejes.

Y queda una verificación gratis: mirá si el resultado va en la dirección correcta. Más kilos tienen que costar más; más trabajadores, tardar menos. Si el número contradice eso, no hay que revisar la cuenta: hay que invertir la operación.