Sumar y restar números enteros

Para qué se inventaron los números negativos

Con los naturales alcanza para contar vacas, pero no para todo. ¿Cuánto queda si debés 5 000 colones y tenés 3 000? ¿Qué temperatura hace en el cerro Chirripó cuando baja de cero? ¿A qué altura está un buzo bajo el mar?

Esas preguntas necesitan números con dirección, no solo con tamaño. Los enteros son los naturales, sus opuestos negativos y el cero: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …

Cada entero tiene dos cosas que conviene separar desde ya:

• El valor absoluto: qué tan lejos está del cero, sin importar el lado. Se escribe entre barras y nunca es negativo: |−7| = 7 y |7| = 7.
• El signo: de qué lado del cero está.

Pensá los enteros como posiciones en una recta con el cero en el medio. El valor absoluto es la distancia al cero; el signo dice para qué lado. Todas las reglas de esta lección salen de ahí.

Sumar es moverse sobre la recta

Si te parás en un número y sumás, te movés. Sumar un positivo mueve a la derecha; sumar un negativo mueve a la izquierda. Eso es todo lo que hay que entender, y de ahí salen los dos casos.

Caso 1: los dos signos son iguales. Los dos movimientos van para el mismo lado, así que se acumulan. Se suman los valores absolutos y se conserva el signo. (−4) + (−6): dos pasos a la izquierda, uno de 4 y otro de 6. Total, 10 a la izquierda: −10.

Caso 2: los signos son distintos. Los movimientos se oponen y se cancelan en parte. Gana el que tiene mayor valor absoluto, y lo que queda es la diferencia de los valores absolutos. (−9) + 4: nueve a la izquierda y cuatro a la derecha. Los cuatro cancelan cuatro, y quedan cinco a la izquierda: −5.

Un caso que conviene tener claro: un número más su opuesto da cero. 7 + (−7) = 0, porque siete a la derecha y siete a la izquierda te dejan donde empezaste. Por eso a −7 se le llama el opuesto de 7.

Restar es sumar el opuesto

Esta es la idea que le ahorra la mitad de los errores a cualquiera.

Restar 5 significa retroceder 5 pasos. Pero retroceder 5 pasos es exactamente lo mismo que avanzar 5 pasos hacia el otro lado. Entonces:

a − b = a + (−b)

Con eso, todas las restas se convierten en sumas y ya no hay que recordar reglas aparte para restar. Solo quedan los dos casos de la suma.

Mirá el caso que más se equivoca: 8 − (−3). Restar el negativo 3 es sumar su opuesto, que es 3: 8 + 3 = 11. Por eso «menos por menos da más» en este contexto: quitar una deuda es lo mismo que recibir plata. Si te perdonan una deuda de 3 000, tu situación mejora en 3 000.

Al pasar de resta a suma, solo cambia el signo del segundo número. El primero se queda igual. En 8 − (−3) el 8 no se toca.

El paréntesis y el signo delante

Cuando un signo queda pegado a un paréntesis, hay dos casos y una sola razón:

• Signo más delante: todo sale igual. +(−5) = −5.
• Signo menos delante: todo sale cambiado, porque el menos pide el opuesto. −(−5) = 5 y −(+5) = −5.

La regla práctica es que dos signos seguidos se combinan en uno: iguales dan más, distintos dan menos. Y eso no es un truco: sale de que el menos significa «el opuesto de», y el opuesto del opuesto es el número original.

Ejemplos resueltos

1. Calculá (−12) + (−8). Los dos son negativos, o sea los dos movimientos van a la izquierda. Sumo los valores absolutos: 12 + 8 = 20, y conservo el signo: −20. Comprobación: si debés 12 000 y pedís 8 000 más, debés 20 000.

2. Calculá 15 + (−23). Signos distintos. Resto los valores absolutos: 23 − 15 = 8. Gana el de mayor valor absoluto, que es el −23, así que el resultado es −8. Comprobación en la recta: desde 15 caminá 23 a la izquierda. A los 15 pasos llegás a 0, y te faltan 8, que te dejan en −8.

3. Calculá 6 − (−14). Restar es sumar el opuesto: 6 − (−14) = 6 + 14 = 20. Comprobación con la idea de deuda: tenés 6 000 y te perdonan una deuda de 14 000. Tu situación mejora 14 000 y quedás con 20 000 a favor.

4. Calculá (−7) − 9. Sumo el opuesto de 9: (−7) + (−9). Los dos negativos se acumulan: 7 + 9 = 16, con signo menos: −16. Fijate que restar un positivo de un negativo lo hace más negativo, porque los dos movimientos van al mismo lado.

5. Un buzo está a 18 m bajo el nivel del mar, sube 7 m y después baja 12 m. ¿A qué profundidad queda? Bajo el mar es negativo: empieza en −18. Subir es sumar: −18 + 7 = −11. Bajar es restar: −11 − 12 = −11 + (−12) = −23, o sea 23 m bajo el nivel del mar. Comprobación: bajó 18, subió 7 y bajó 12. Neto: bajó 18 + 12 = 30 y subió 7, así que quedó 30 − 7 = 23 metros abajo.

Los errores que más se cobran

1. Sumar los valores absolutos cuando los signos son distintos. Si los movimientos van para lados opuestos, se cancelan: hay que restar, no sumar. Sumar solo cuando los dos empujan al mismo lado.
2. Poner el signo del primer número en vez del signo del mayor. En (−9) + 4 manda el 9 porque está más lejos del cero, no porque esté escrito primero. El orden en que se escriben no decide nada.
3. Cambiarle el signo al primer número al convertir la resta. En a − b solo cambia b. El primero se queda como está.
4. Creer que un número negativo con «más valor» es mayor. −20 es menor que −8, porque está más a la izquierda. En los negativos, mientras más grande el valor absoluto, más chico el número.
5. Confundir el valor absoluto con quitar el signo menos del resultado final. El valor absoluto es una distancia y se usa durante la cuenta; el signo del resultado se decide aparte, según quién gana.
6. Tratar −(−5) como −5. El menos de adelante pide el opuesto, y el opuesto de −5 es 5. Si se lee «el opuesto de» en vez de «menos», el error desaparece.

Clave de análisis

No hay dos operaciones que aprender: hay una sola, y es la suma. La resta se convierte en suma cambiando el signo del segundo número, porque retroceder es avanzar hacia el otro lado. Con esa conversión hecha, todo el tema se reduce a mirar los dos signos.

Si los signos son iguales, los dos movimientos van para el mismo lado: se acumulan, así que los valores absolutos se suman y el signo se conserva. Si los signos son distintos, los movimientos se oponen: se cancelan, así que los valores absolutos se restan y manda el que está más lejos del cero.

Nada de esto hay que aceptarlo sin ver por qué: dibujá la recta con el cero en el medio, poné el primer número y caminá lo que dice el segundo, a la derecha si es positivo y a la izquierda si es negativo. Donde caigas es la respuesta, y ese mismo dibujo sirve para comprobar cualquier cuenta que te dé sospecha.

Y si la recta no está a mano, usá la idea de plata: positivo es lo que tenés, negativo es lo que debés, y quitar una deuda mejora tu situación. Esa imagen sola explica por qué restar un negativo suma.