Razonamiento en contexto matemático
Cómo resolver repartos, coincidencias y comparaciones de números sin calculadora
Al terminar vas a poder resolver sin calculadora los ítems de operaciones de la PAA de la UCR y la UNA: repartos que piden el máximo común divisor, coincidencias que piden el mínimo común múltiplo, cadenas de mitades y comparaciones entre fracciones y decimales.
Qué pide esta parte de la prueba
Según el Instituto de Investigaciones Psicológicas de la UCR, la PAA tiene 45 ítems de selección única con cuatro opciones, para una hora y 50 minutos y sin calculadora. Los ítems matemáticos no piden fórmulas del colegio: piden razonar con nociones básicas. Las primeras del Cuadro de nociones de su folleto de práctica son las de esta lección:
- operaciones con números naturales, enteros, fraccionarios y con expansión decimal;
- mínimo común múltiplo y máximo común divisor;
- relaciones numéricas y de orden.
Casi siempre vienen dentro de una situación: una tienda, un reparto, dos buses, un reloj. La cuenta es corta; lo difícil es decidir qué cuenta hacer.
MCD o MCM: la pregunta que decide
Las dos se confunden porque las dos usan la descomposición en factores. La diferencia está en lo que se busca:
| Si la situación pide… | Se usa | Por qué |
|---|---|---|
| Repartir en grupos iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada | MCD | el tamaño del grupo tiene que dividir a todas las cantidades |
| Saber cuándo vuelven a coincidir dos cosas que se repiten | MCM | el momento tiene que ser múltiplo de todos los periodos |
Una prueba rápida: el MCD nunca es mayor que el número más pequeño; el MCM nunca es menor que el más grande. Si la respuesta que pensás rompe esa regla, usaste la herramienta equivocada.
Repartir achica; coincidir agranda. El MCD sale igual o menor que el número más pequeño, y el MCM sale igual o mayor que el más grande.
Cómo sacarlos sin calculadora
MCD de 42 y 70. Se buscan los divisores que comparten: 42 = 2 · 3 · 7 y 70 = 2 · 5 · 7. Los factores comunes son 2 y 7: el MCD es 14.
MCM de 12 y 18. Se toma cada factor con su exponente más alto: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3². El MCM es 2² · 3² = 36.
Con números chicos también sirve contar múltiplos: los de 12 son 12, 24, 36…; los de 18 son 18, 36… El primero que se repite es el MCM.
Cadenas: la mitad de lo que queda
Un tipo de ítem frecuente reparte «la mitad de lo que hay» una y otra vez. El error es dividir el total entre la cantidad de personas. Lo que pasa en realidad es una cadena:
- Una biblioteca tiene 640 libros para donar. A cada escuela que llega le da la mitad de los que quedan.
- A la primera le da 320 (quedan 320); a la segunda, 160 (quedan 160); a la tercera, 80.
Cada entrega es la mitad de la anterior. Para la escuela número n, la entrega es el total dividido entre 2 elevado a la n: para la tercera, 640 ÷ 8 = 80.
Ordenar fracciones y decimales
Cuando las opciones mezclan fracciones y decimales, lo más seguro es pasar todo a decimal con tres cifras o a un denominador común.
¿Cuál es mayor: 5/8, 0,6 o 7/12?
- 5/8 = 0,625
- 0,6 = 0,600
- 7/12 ≈ 0,583
La mayor es 5/8. Dos trampas comunes: creer que 7/12 es mayor porque sus números son más grandes, y creer que un decimal con más cifras es mayor (0,583 < 0,6).
Diferencias horarias
Otro ítem que aparece en la práctica oficial es el de un evento que empieza en un país y termina en otro, con horas distintas. La regla: pasar las dos horas al mismo lugar antes de restar.
Un vuelo sale de San José a las 10:00 p. m. y llega a Lima a las 5:00 a. m. del día siguiente, hora de Lima. Si Lima está 1 hora adelante de San José, la llegada en hora de San José es a las 4:00 a. m. Del día anterior a las 10:00 p. m. hasta las 4:00 a. m. hay 6 horas.
Ejemplos resueltos
1. Una profesora tiene 45 lápices y 60 borradores y quiere armar kits iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada. ¿Cuántos kits arma? El número de kits tiene que dividir a 45 y a 60: MCD(45, 60) = 15. 15 kits, cada uno con 3 lápices y 4 borradores. Comprobá: 15 × 3 = 45 y 15 × 4 = 60.
2. Un semáforo cambia cada 40 segundos y otro cada 60. Si cambian juntos ahora, ¿en cuántos segundos vuelven a cambiar juntos? MCM(40, 60) = 120. 120 segundos. Multiplicar 40 × 60 = 2400 da un momento en que coinciden, pero no el primero.
3. ¿Cuál es menor: 0,45, 4/9 o 9/20? 4/9 ≈ 0,444; 9/20 = 0,45. La menor es 4/9, aunque 0,45 y 9/20 «se vean» más chicos.
4. Una tienda regala la mitad de sus 800 calendarios al primer cliente, la mitad de los que quedan al segundo, y así. ¿Cuántos recibe el cuarto cliente? Cada entrega es la mitad de la anterior: 400, 200, 100, 50. Con la fórmula: 800 ÷ 2⁴ = 50.
5. Un bus a Limón sale cada 18 minutos y uno a Puntarenas cada 24. Salen juntos a las 6:00 a. m. ¿A qué hora vuelven a salir juntos? 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3; el MCM es 2³ · 3² = 72 minutos. A las 7:12 a. m.
Los errores que más se cobran
- Usar MCM para repartir. Pasa porque las dos palabras se parecen; pero el MCM es mayor que las cantidades, y no se puede hacer un grupo más grande que lo que hay.
- Multiplicar los periodos para buscar la coincidencia. La multiplicación siempre da un múltiplo común, por eso parece correcta; pero si los números comparten factores, se salta la primera coincidencia.
- Dividir entre la cantidad de personas cuando se reparte «la mitad de lo que queda». Ese reparto no es parejo: cada persona recibe menos que la anterior, porque lo que queda se achica.
- Comparar fracciones por el tamaño de sus números. Un denominador grande hace más pequeñas las partes, así que 7/12 puede ser menor que 5/8 aunque tenga números mayores.
- Creer que un decimal con más cifras es mayor. 0,583 tiene más cifras que 0,6, pero en las décimas manda el 5 contra el 6.
- Restar horas de lugares distintos sin ajustarlas. Las dos horas miden relojes distintos; la resta solo tiene sentido cuando las dos están en el mismo reloj.
Clave de análisis
Antes de calcular, preguntate qué tipo de número tiene que salir: si es un tamaño de grupo, no puede ser mayor que las cantidades; si es una coincidencia, no puede ser menor que el periodo más largo; si es una parte de una cadena, cada paso es menor que el anterior. Con esa pregunta se descartan dos opciones antes de hacer la cuenta.