Cómo resolver repartos, coincidencias y comparaciones de números sin calculadora

Al terminar vas a poder resolver sin calculadora los ítems de operaciones de la PAA de la UCR y la UNA: repartos que piden el máximo común divisor, coincidencias que piden el mínimo común múltiplo, cadenas de mitades y comparaciones entre fracciones y decimales.

Qué pide esta parte de la prueba

El folleto oficial del Instituto de Investigaciones Psicológicas de la UCR dice que la PAA tiene 75 ítems de selección única con cuatro opciones, en tres horas y sin calculadora. Los ítems matemáticos no piden fórmulas del colegio: piden razonar con nociones básicas. Las primeras de su Cuadro de nociones son las de esta lección:

• operaciones con números naturales, enteros, fraccionarios y con expansión decimal;
• mínimo común múltiplo y máximo común divisor;
• relaciones numéricas y de orden.

Casi siempre vienen dentro de una situación: una tienda, un reparto, dos buses, un reloj. La cuenta es corta; lo difícil es decidir qué cuenta hacer.

MCD o MCM: la pregunta que decide

Las dos se confunden porque las dos usan la descomposición en factores. La diferencia está en lo que se busca:

Una prueba rápida: el MCD nunca es mayor que el número más pequeño; el MCM nunca es menor que el más grande. Si la respuesta que pensás rompe esa regla, usaste la herramienta equivocada.

Repartir achica; coincidir agranda. El MCD sale igual o menor que el número más pequeño, y el MCM sale igual o mayor que el más grande.

Cómo sacarlos sin calculadora

MCD de 42 y 70. Se buscan los divisores que comparten: 42 = 2 · 3 · 7 y 70 = 2 · 5 · 7. Los factores comunes son 2 y 7: el MCD es 14.

MCM de 12 y 18. Se toma cada factor con su exponente más alto: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3². El MCM es 2² · 3² = 36.

Con números chicos también sirve contar múltiplos: los de 12 son 12, 24, 36…; los de 18 son 18, 36… El primero que se repite es el MCM.

Cadenas: la mitad de lo que queda

Un tipo de ítem frecuente reparte «la mitad de lo que hay» una y otra vez. El error es dividir el total entre la cantidad de personas. Lo que pasa en realidad es una cadena:

• Una biblioteca tiene 640 libros para donar. A cada escuela que llega le da la mitad de los que quedan.
• A la primera le da 320 (quedan 320); a la segunda, 160 (quedan 160); a la tercera, 80.

Cada entrega es la mitad de la anterior. Para la escuela número n, la entrega es el total dividido entre 2 elevado a la n: para la tercera, 640 ÷ 8 = 80.

Ordenar fracciones y decimales

Cuando las opciones mezclan fracciones y decimales, lo más seguro es pasar todo a decimal con tres cifras o a un denominador común.

¿Cuál es mayor: 5/8, 0,6 o 7/12?

• 5/8 = 0,625
• 0,6 = 0,600
• 7/12 ≈ 0,583

La mayor es 5/8. Dos trampas comunes: creer que 7/12 es mayor porque sus números son más grandes, y creer que un decimal con más cifras es mayor (0,583 < 0,6).

Diferencias horarias

Otro ítem que aparece en la práctica oficial es el de un evento que empieza en un país y termina en otro, con horas distintas. La regla: pasar las dos horas al mismo lugar antes de restar.

Un vuelo sale de San José a las 10:00 p. m. y llega a Lima a las 5:00 a. m. del día siguiente, hora de Lima. Si Lima está 1 hora adelante de San José, la llegada en hora de San José es a las 4:00 a. m. Del día anterior a las 10:00 p. m. hasta las 4:00 a. m. hay 6 horas.

Ejemplos resueltos

1. Una profesora tiene 45 lápices y 60 borradores y quiere armar kits iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada. ¿Cuántos kits arma? El número de kits tiene que dividir a 45 y a 60: MCD(45, 60) = 15. 15 kits, cada uno con 3 lápices y 4 borradores. Comprobá: 15 × 3 = 45 y 15 × 4 = 60.

2. Un semáforo cambia cada 40 segundos y otro cada 60. Si cambian juntos ahora, ¿en cuántos segundos vuelven a cambiar juntos? MCM(40, 60) = 120. 120 segundos. Multiplicar 40 × 60 = 2400 da un momento en que coinciden, pero no el primero.

3. ¿Cuál es menor: 0,45, 4/9 o 9/20? 4/9 ≈ 0,444; 9/20 = 0,45. La menor es 4/9, aunque 0,45 y 9/20 «se vean» más chicos.

4. Una tienda regala la mitad de sus 800 calendarios al primer cliente, la mitad de los que quedan al segundo, y así. ¿Cuántos recibe el cuarto cliente? Cada entrega es la mitad de la anterior: 400, 200, 100, 50. Con la fórmula: 800 ÷ 2⁴ = 50.

5. Un bus a Limón sale cada 18 minutos y uno a Puntarenas cada 24. Salen juntos a las 6:00 a. m. ¿A qué hora vuelven a salir juntos? 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3; el MCM es 2³ · 3² = 72 minutos. A las 7:12 a. m.

Los errores que más se cobran

1. Usar MCM para repartir. Pasa porque las dos palabras se parecen; pero el MCM es mayor que las cantidades, y no se puede hacer un grupo más grande que lo que hay.
2. Multiplicar los periodos para buscar la coincidencia. La multiplicación siempre da un múltiplo común, por eso parece correcta; pero si los números comparten factores, se salta la primera coincidencia.
3. Dividir entre la cantidad de personas cuando se reparte «la mitad de lo que queda». Ese reparto no es parejo: cada persona recibe menos que la anterior, porque lo que queda se achica.
4. Comparar fracciones por el tamaño de sus números. Un denominador grande hace más pequeñas las partes, así que 7/12 puede ser menor que 5/8 aunque tenga números mayores.
5. Creer que un decimal con más cifras es mayor. 0,583 tiene más cifras que 0,6, pero en las décimas manda el 5 contra el 6.
6. Restar horas de lugares distintos sin ajustarlas. Las dos horas miden relojes distintos; la resta solo tiene sentido cuando las dos están en el mismo reloj.

Clave de análisis

Antes de calcular, preguntate qué tipo de número tiene que salir: si es un tamaño de grupo, no puede ser mayor que las cantidades; si es una coincidencia, no puede ser menor que el periodo más largo; si es una parte de una cadena, cada paso es menor que el anterior. Con esa pregunta se descartan dos opciones antes de hacer la cuenta.