Razonamiento en contexto matemático
Cómo calcular perímetros, áreas y pasar entre unidades de medida
Al terminar vas a poder calcular perímetros y áreas de figuras armadas con piezas, trabajar con la circunferencia usando π ≈ 3,14 y pasar entre unidades de longitud, capacidad, masa, tiempo y velocidad sin calculadora.
Qué pide esta parte de la prueba
El Cuadro de nociones del folleto oficial de la PAA de la UCR y la UNA pide geometría —«área y perímetro de polígonos, circunferencia»— y unidades de medida de «masa, longitud, capacidad, tiempo, monetarias, velocidad». No hay fórmulas complicadas: los ítems buscan que se entienda qué se mide.
Perímetro y área no son lo mismo
- Perímetro: el largo del borde. Se mide en cm, m, km.
- Área: lo que ocupa la superficie. Se mide en cm², m².
Un rectángulo de 7 m por 3 m tiene perímetro 2 × (7 + 3) = 20 m y área 7 × 3 = 21 m². Que los números se parezcan no quiere decir nada: son medidas distintas.
El perímetro es una cuerda; el área es una alfombra. La cuerda se mide en cm; la alfombra, en cm².
Figuras armadas con piezas
Cuando se pegan piezas, los lados que quedan por dentro dejan de ser borde.
Tres rectángulos de 4 cm por 2 cm puestos uno al lado del otro por su lado corto forman un rectángulo de 12 cm por 2 cm. Su perímetro es 2 × (12 + 2) = 28 cm, no 3 × 12 = 36 cm, que sería sumar los perímetros de las tres piezas por separado.
Franjas y caminos
Si a un terreno rectangular se le quita una franja de ancho f alrededor de todo el borde, el largo y el ancho bajan 2f cada uno, porque se quita de los dos lados. Un terreno de 15 m por 9 m con un camino de 1,5 m alrededor deja un interior de 12 m por 6 m = 72 m².
La circunferencia
- Largo de la circunferencia: π × diámetro. Con π ≈ 3,14, un aro de 40 cm de diámetro mide 125,6 cm de borde.
- Área del círculo: π × radio × radio. El mismo aro encierra 3,14 × 20 × 20 = 1256 cm².
En una rueda, una vuelta avanza lo que mide su circunferencia. Para saber cuántas vueltas da, se divide la distancia entre la circunferencia (con las dos en la misma unidad).
Unidades: multiplicar o dividir
| De | A | Se… |
|---|---|---|
| km | m | multiplica por 1000 |
| m | cm | multiplica por 100 |
| L | mL | multiplica por 1000 |
| kg | g | multiplica por 1000 |
| horas | minutos | multiplica por 60 |
Regla para no equivocarse: al pasar a una unidad más pequeña, el número crece. 2,5 L son 2500 mL; 90 minutos son 1,5 horas.
Velocidad
Velocidad = distancia ÷ tiempo, con las unidades de lo que se pide. Si un bus recorre 60 km en 40 minutos, los 40 minutos son 2/3 de hora: 60 ÷ 2/3 = 90 km/h. Dividir 60 entre 40 da kilómetros por minuto (1,5 km/min), que también es correcto, pero no es lo que pide una pregunta en km/h.
Ejemplos resueltos
1. Cuatro baldosas cuadradas de 10 cm de lado se pegan formando un cuadrado grande de 2 × 2. ¿Cuál es el perímetro de la figura? El cuadrado grande mide 20 cm de lado: 4 × 20 = 80 cm. Sumar los cuatro perímetros (160 cm) cuenta también los lados de adentro.
2. ¿Cuántos vasos de 300 mL se llenan con 4,5 L? 4,5 L = 4500 mL; 4500 ÷ 300 = 15 vasos.
3. Una bicicleta avanza 12 km en 45 minutos. ¿Cuál es su velocidad en km/h? 45 minutos = 3/4 de hora; 12 ÷ 3/4 = 12 × 4/3 = 16 km/h.
4. Un aro de 50 cm de diámetro rueda sin resbalar 157 m. ¿Cuántas vueltas completas da? (π ≈ 3,14) Una vuelta avanza 3,14 × 50 = 157 cm. 157 m son 15 700 cm; 15 700 ÷ 157 = 100 vueltas.
5. Un patio cuadrado de 8 m de lado se va a cubrir con losetas cuadradas de 50 cm de lado. ¿Cuántas losetas se necesitan? En cada lado caben 8 ÷ 0,5 = 16 losetas: 16 × 16 = 256 losetas. Dividir 64 m² entre 50 da un número sin sentido, porque mezcla metros cuadrados con centímetros.
Los errores que más se cobran
- Sumar los perímetros de las piezas en vez de medir el borde de la figura nueva. Los lados pegados quedan por dentro, y el perímetro solo cuenta el borde de afuera.
- Quitar la franja de un solo lado. Un camino alrededor ocupa el borde izquierdo y el derecho, arriba y abajo: el largo baja dos veces el ancho del camino.
- Usar el radio donde va el diámetro, o al revés. La circunferencia usa el diámetro y el área usa el radio dos veces; confundirlos da la mitad o el doble.
- Confundir 1 L con 100 mL. El prefijo mili significa milésima: un litro tiene 1000 mililitros, igual que un metro tiene 1000 milímetros.
- Dividir la distancia entre los minutos cuando se piden km/h. El resultado sale en kilómetros por minuto, una unidad que ninguna opción usa.
- Pasar de m² a cm² multiplicando por 100. Un metro cuadrado es 100 cm × 100 cm: son 10 000 cm², porque se convierten las dos medidas.
Clave de análisis
Escribí la unidad junto a cada número mientras trabajás: cm con cm, minutos con minutos. Si al final la unidad no coincide con la que pide la pregunta, falta una conversión. Y comprobá con el sentido común: un bus a 900 km/h o un vaso de 3 L son señales de un error de unidades.