Razonamiento en contexto matemático
Cómo contar posibilidades, ordenar personas y continuar sucesiones
Al terminar vas a poder contar posibilidades sin hacer la lista completa, resolver ordenamientos con condiciones («siempre juntos», «siempre en un extremo»), contar encuentros de todos contra todos y encontrar la regla de una sucesión aunque la diferencia cambie.
Qué pide esta parte de la prueba
El Cuadro de nociones del folleto oficial de la PAA de la UCR y la UNA incluye conteo intuitivo, permutaciones («variar el orden de objetos o personas») y sucesiones «numéricas, de objetos, de personas». Son ítems cortos, con respuestas numéricas, y se resuelven sin calculadora si se cuenta con método.
El principio de multiplicar
Si una decisión se toma en pasos y cada paso tiene sus opciones, el total se multiplica, no se suma.
En una soda se escoge un casado con 2 tipos de arroz, 3 carnes y 4 frescos. Por cada arroz hay 3 carnes: 2 × 3 = 6 parejas. Por cada pareja hay 4 frescos: 6 × 4 = 24 combinaciones. Sumar 2 + 3 + 4 = 9 cuenta cosas del menú, no platos distintos.
Una de cada grupo: se multiplica. Se suma solo cuando se escoge una cosa de un grupo o de otro, nunca de los dos a la vez.
Ordenar personas en fila
Cuando importa el orden, se cuentan los lugares uno por uno.
- 4 personas en 4 sillas: para la primera silla hay 4 opciones, para la segunda 3, luego 2 y 1: 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Esto se escribe 4! («cuatro factorial»).
- Con 5 personas: 5! = 120. Con 6: 720.
Condiciones frecuentes:
| Condición | Cómo se cuenta | Ejemplo con 5 personas |
|---|---|---|
| Una persona fija en un lugar | se ordenan las demás | 4! = 24 |
| Una persona en cualquiera de los dos extremos | 2 × (las demás) | 2 × 24 = 48 |
| Dos personas siempre juntas | se tratan como un bloque, y el bloque se voltea | 4! × 2 = 48 |
Todos contra todos
En un torneo donde cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás, cada equipo tiene tantos rivales como equipos menos uno. Con 7 equipos: 7 × 6 = 42, pero así cada partido se contó dos veces (A contra B y B contra A). Hay 42 ÷ 2 = 21 partidos.
La misma cuenta sirve para saludos de mano, llamadas entre amigos o líneas que unen puntos: n × (n − 1) ÷ 2.
Sucesiones: mirar las diferencias
Ante una sucesión, el primer paso es restar cada término del siguiente.
- 4, 7, 10, 13… diferencias 3, 3, 3: se suma siempre 3.
- 2, 3, 6, 11, 18… diferencias 1, 3, 5, 7: las diferencias crecen de 2 en 2. El siguiente es 18 + 9 = 27.
- 3, 6, 12, 24… no hay diferencia fija, pero cada término es el doble del anterior.
Si ni las diferencias ni los cocientes muestran un patrón, mirá si hay dos sucesiones intercaladas (posiciones pares e impares).
Ciclos: días, colores, turnos
Cuando algo se repite cada cierto número de pasos, se usa el residuo de la división. Si hoy es martes, ¿qué día será dentro de 30 días? 30 = 7 × 4 + 2: cuatro semanas completas y 2 días más. Jueves.
Ejemplos resueltos
1. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 3 hermanos en 3 sillas de la sala? Para la primera silla hay 3 opciones, para la segunda 2 y para la última 1: 3 × 2 × 1 = 6.
2. En una reunión de 12 personas, cada una le da la mano a todas las demás una sola vez. ¿Cuántos saludos hay? Cada persona saluda a 11: 12 × 11 = 132, pero así cada saludo se contó dos veces. 66 saludos.
3. ¿Cuál es el sexto término de 5, 6, 8, 11, 15…? Las diferencias son 1, 2, 3, 4: la siguiente es 5. 15 + 5 = 20.
4. Una contraseña de bicicleta tiene 3 ruedas con los dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones hay? Cada rueda tiene 10 opciones y se pueden repetir: 10 × 10 × 10 = 1000. No es 10 + 10 + 10, porque se escoge un dígito de cada rueda.
5. Cinco amigos se toman una foto en fila, y Sofía tiene que quedar en uno de los extremos. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse? Sofía tiene 2 lugares posibles; los otros 4 se ordenan en 4! = 24 maneras. 2 × 24 = 48.
Los errores que más se cobran
- Sumar opciones que se combinan. Sumar cuenta cosas del menú; multiplicar cuenta platos. Si se escoge una de cada grupo, cada opción del primer grupo se junta con todas las del segundo.
- Olvidar dividir entre 2 en los encuentros de todos contra todos. «Ana saluda a Beto» y «Beto saluda a Ana» son el mismo saludo, pero la multiplicación los cuenta dos veces.
- Olvidar que un bloque de dos personas se puede voltear. Juntos puede ser «Ana-Beto» o «Beto-Ana»: son dos filas distintas, y por eso se multiplica por 2.
- Suponer diferencia constante cuando las diferencias crecen. Si solo se mira el primer salto, se proyecta un patrón que la sucesión no tiene.
- Contar el día de hoy como el día 1 en los ciclos. «Dentro de 30 días» empieza a contar mañana; si se incluye hoy, la respuesta se corre un día.
- Contar sin repetición cuando se puede repetir. En una contraseña el mismo dígito puede salir dos veces; en una fila, la misma persona no puede estar en dos lugares.
Clave de análisis
Antes de contar, preguntate: ¿importa el orden? Si importa (filas, turnos, contraseñas), se cuentan lugares y se multiplica. Si no importa (parejas, saludos, grupos), se cuenta como si importara y se divide entre las veces que se repitió cada grupo.