Cómo leer datos, calcular probabilidades y escribir expresiones algebraicas
Al terminar vas a poder leer una tabla o un conjunto de datos y sacar el promedio sin calculadora, calcular la probabilidad de un evento sencillo contando casos, y traducir una situación con palabras a una expresión con letras.
Qué pide esta parte de la prueba
El Cuadro de nociones del folleto oficial de la PAA de la UCR y la UNA cierra la parte matemática con representación de datos (tablas y gráficos), promedio, probabilidad intuitiva y expresiones algebraicas sencillas. Son los ítems que menos cuentas piden y más lectura: la dificultad está en entender qué dice la tabla o el enunciado.
El promedio: repartir parejo
El promedio es lo que le tocaría a cada uno si todo se repartiera en partes iguales: se suman los datos y se divide entre cuántos son.
Promedio por cantidad = suma. Casi todos los ítems de promedio se resuelven pasando del promedio a la suma, que es lo que sí se puede sumar y restar.
Las notas 70, 85 y 91 suman 246; 246 ÷ 3 = 82.
Dos ideas que resuelven ítems sin sumar todo:
- Lo que falta. Si el promedio de 4 exámenes tiene que ser 80, los 4 tienen que sumar 320. Si ya lleva 75, 78 y 84 (suma 237), en el cuarto necesita 320 − 237 = 83.
- Lo que cambia. Si a un grupo de 10 personas con promedio de edad 16 se le suma una persona de 27, la suma pasa de 160 a 187 y el promedio a 187 ÷ 11 = 17.
Leer una tabla antes de calcular
| Día | Lunes | Martes | Miércoles | Jueves | Viernes |
| Empanadas vendidas en la soda | 18 | 24 | 15 | 30 | 23 |
Antes de hacer cuentas conviene leer qué pregunta el ítem: ¿el total (110), el promedio diario (22), el día de más ventas (jueves) o la diferencia entre dos días (jueves vendió el doble que miércoles)? Muchas opciones incorrectas son la respuesta a otra de esas preguntas.
Probabilidad: casos favorables entre casos posibles
Cuando todos los resultados tienen la misma oportunidad:
probabilidad = casos que sirven ÷ casos posibles
En una bolsa hay 3 bolitas rojas, 5 azules y 2 verdes. Al sacar una sin ver, la probabilidad de que sea azul es 5 ÷ 10 = 1/2; de que no sea roja, 7 ÷ 10.
Con dos lanzamientos o dos extracciones hay que contar las parejas. Dos monedas dan cuatro resultados: cara-cara, cara-escudo, escudo-cara, escudo-escudo. La probabilidad de sacar exactamente una cara es 2/4 = 1/2, no 1/3: cara-escudo y escudo-cara son resultados distintos.
De palabras a letras
Una expresión algebraica es una cuenta en la que un número todavía no se conoce. La traducción se hace frase por frase:
| Dice el enunciado | Se escribe |
| el doble de un número | 2n |
| tres más que un número | n + 3 |
| la mitad de un número, menos 4 | n ÷ 2 − 4 |
| un número por sí mismo | n × n |
| la edad de hace 5 años | n − 5 |
Ejemplo: Una lavandería cobra ₡1500 por el servicio y ₡800 por cada kilo de ropa. ¿Cuánto cobra por k kilos? El cobro fijo va una sola vez y el variable se multiplica: 1500 + 800k.
Ejemplos resueltos
1. El promedio de 5 números es 12. Si se quita uno de ellos, el promedio de los otros 4 es 11. ¿Qué número se quitó? Los 5 suman 5 × 12 = 60 y los 4 suman 4 × 11 = 44: se quitó 16.
2. Se lanza un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 4? Sirven el 5 y el 6: 2 ÷ 6 = 1/3. «Mayor que 4» no incluye el 4.
3. Ana tiene x años y su hermano tiene 4 años menos que el doble de la edad de Ana. ¿Qué expresión da la edad del hermano? El doble de x es 2x; cuatro menos: 2x − 4.
4. Con los datos de la tabla de empanadas, ¿qué porcentaje de las ventas de la semana se hizo el jueves? El jueves vendió 30 de 110. 30 ÷ 110 ≈ 0,27: cerca del 27 %. El 30 de la tabla no es un porcentaje: es una cantidad.
5. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras? De los cuatro resultados posibles (cara-cara, cara-escudo, escudo-cara, escudo-escudo), sirve uno: 1/4.
Los errores que más se cobran
- Dividir entre la cantidad equivocada al sacar un promedio. Si se agregó o se quitó un dato, la suma y la cantidad cambian las dos; cambiar solo una da un promedio falso.
- Contestar otra pregunta de la tabla. El total, el promedio y el máximo salen de los mismos números, y por eso aparecen como opciones: hay que leer qué se pidió.
- Contar mal los casos posibles, sobre todo con dos monedas o dos dados. «Una cara y un escudo» se puede dar de dos maneras, y contarla una sola vez cambia la probabilidad.
- Multiplicar el cobro fijo por los kilos. El cobro fijo se paga una vez, lleve uno o diez kilos; solo lo variable crece con la cantidad.
- Escribir «4 menos el doble» (4 − 2x) cuando dice «4 menos que el doble» (2x − 4). El «que» marca de dónde se resta: se parte del doble y se le quitan 4.
- Dar una probabilidad mayor que 1. Los casos que sirven nunca son más que los posibles; si la fracción queda «de cabeza», se invirtió la división.
Clave de análisis
Probá la expresión o el resultado con un número fácil. Si decís que el hermano tiene 2x − 4 años, poné x = 10: el doble es 20, cuatro menos da 16. Si la cuenta con tus palabras da lo mismo que la expresión, está bien escrita. Con los promedios, revisá que el resultado quede entre el dato menor y el mayor: si no, algo se sumó o se dividió mal.