Resultados favorables y eventos probables

Al terminar vas a poder contar los resultados posibles y los favorables de una situación al azar, clasificar un evento como seguro, probable o imposible, y comparar dos eventos para decir cuál es más probable, cuál menos y cuándo son igualmente probables.

Situaciones al azar

Una situación es al azar cuando no se puede saber de antemano qué va a pasar: lanzar un dado, sacar una bola de una bolsa sin ver, girar una ruleta, lanzar una moneda.

En toda situación al azar hay dos listas que conviene escribir:

• Los resultados posibles: todo lo que puede pasar.
• Los resultados favorables a un evento: los resultados que hacen que ese evento ocurra.

Un evento es lo que describimos con una frase: «que salga un número par», «que salga una bola roja», «que salga escudo».

Al lanzar un dado común hay 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Para el evento «sale un número par», los favorables son 2, 4 y 6: son 3 resultados favorables.

Para contar bien los favorables hay una sola regla: escribí la lista completa de resultados posibles y marcá los que cumplen el evento. Contar de memoria es lo que hace fallar.

Seguro, probable o imposible

Con los resultados contados, cada evento cae en una de tres clases:

En el lenguaje diario decimos «es imposible» cuando algo es muy difícil. En matemática, imposible quiere decir que no puede pasar de ninguna manera: cero resultados favorables. Sacar un 9 con un dado de seis caras es imposible; sacar seis veces seguidas el 6 es muy poco probable, pero no imposible.

Comparar dos eventos

Cuando los resultados posibles son igualmente probables —un dado bien hecho, una bolsa bien revuelta—, comparar es contar:

• El evento con más resultados favorables es el más probable.
• El evento con menos resultados favorables es el menos probable.
• Si los dos tienen la misma cantidad de favorables, son igualmente probables.

En una bolsa con 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes (10 en total, todas del mismo tamaño):

Un detalle que se cobra: «sacar roja» tiene 5 favorables y «sacar azul o verde» también tiene 3 + 2 = 5 favorables. Entonces esos dos eventos son igualmente probables, aunque uno hable de un color y el otro de dos.

Cuando hay dos pasos: el diagrama de árbol

Si la situación tiene dos pasos, los resultados posibles se cuentan con un diagrama de árbol: se abre una rama por cada resultado del primer paso y de cada una salen las ramas del segundo.

Lanzar una moneda dos veces da 4 resultados posibles: corona-corona, corona-escudo, escudo-corona y escudo-escudo.

Para el evento «salen las dos iguales» hay 2 favorables de 4. Para «sale al menos una corona» hay 3 favorables de 4: corona-corona, corona-escudo y escudo-corona. Entonces «al menos una corona» es más probable que «las dos iguales».

Ejemplos resueltos

1. Contar favorables. Al lanzar un dado, ¿cuántos resultados favorecen al evento «sale múltiplo de 3»?

• Resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Múltiplos de 3 en esa lista: 3 y 6.
• 2 resultados favorables de 6.

2. Clasificar tres eventos del dado.

• «Sale un número menor que 7»: los 6 resultados sirven → seguro.
• «Sale un número mayor que 4»: sirven el 5 y el 6 → probable.
• «Sale un 0»: ningún resultado sirve → imposible.

3. Comparar en la bolsa. Con 5 rojas, 3 azules y 2 verdes, ¿qué es más probable: sacar azul o sacar verde?

• Azul: 3 favorables. Verde: 2 favorables.
• Sacar azul es más probable, porque tiene más favorables.

4. Eventos igualmente probables. En la misma bolsa, compará «sacar roja» con «sacar azul o verde».

• Roja: 5 favorables. Azul o verde: 3 + 2 = 5 favorables.
• Son igualmente probables.

5. La ruleta. Una ruleta tiene 8 sectores iguales: 4 rojos, 2 azules, 1 verde y 1 amarillo. Ordená los eventos de más a menos probable.

• Rojo: 4. Azul: 2. Verde: 1. Amarillo: 1.
• Rojo es el más probable; azul va después; verde y amarillo son igualmente probables y los menos probables.

6. Con árbol. Se lanza una moneda y después un dado. ¿Cuántos resultados posibles hay?

• Del primer paso salen 2 ramas y de cada una salen 6.
• 2 × 6 = 12 resultados posibles.

Los errores que más se cobran

• Contar los favorables sin escribir la lista. Se dice que «sale par» tiene 2 favorables. Pasa por contar de memoria y saltarse alguno. Escribir 1, 2, 3, 4, 5, 6 y marcar toma cinco segundos y no falla.
• Llamar imposible a lo poco probable. Se dice que sacar cuatro veces seguidas el 6 es imposible. Pasa porque en el habla diaria imposible significa muy difícil. En matemática imposible es cero resultados favorables.
• Confundir seguro con muy probable. Se dice que sacar una bola roja es seguro porque hay muchas. Pasa por mirar el evento más probable y estirarlo. Seguro es cuando todos los resultados son favorables.
• Comparar sin fijarse en que los resultados sean igualmente probables. Se dice que en una ruleta con sectores de distinto tamaño los colores tienen la misma oportunidad porque hay uno de cada uno. Pasa por contar colores en vez de sectores. Solo se cuenta directo cuando los resultados posibles son igualmente probables.
• Olvidar el «al menos». En dos monedas se cuenta «al menos una corona» como 1 favorable. Pasa por leer «una» y pensar «exactamente una». «Al menos una» incluye también el caso de las dos.
• Multiplicar mal los pasos. En moneda y dado se contesta 8 resultados porque se suman 2 + 6. Pasa por juntar los números que aparecen. Cada rama del primer paso se abre en todas las del segundo, así que se multiplica.

Clave de análisis

Escribí la lista completa de resultados posibles y marcá los favorables al evento: eso resuelve casi todo. Si los favorables son todos, el evento es seguro; si no hay ninguno, es imposible; si hay algunos, es probable. Para comparar dos eventos con resultados igualmente probables, gana el que tenga más favorables, y si empatan son igualmente probables. Y si hay dos pasos, armá el árbol y multiplicá las ramas.