Números grandes, orden de las operaciones y propiedad distributiva
Al terminar vas a poder leer y escribir números naturales grandes sin equivocarte con los ceros, resolver una cadena de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en el orden correcto, y usar la propiedad distributiva para volver fácil una multiplicación difícil.
Los números grandes se leen por grupos de tres
Un número largo no se lee cifra por cifra. Se parte en grupos de tres cifras contando desde la derecha, y cada grupo tiene nombre: el primero es el de las unidades, el segundo el de los miles, el tercero el de los millones.
Mirá el número 2 070 543. Los grupos, desde la derecha, son 543, 070 y 2.
| grupo | cifras | cómo se lee |
| millones | 2 | dos millones |
| miles | 070 | setenta mil |
| unidades | 543 | quinientos cuarenta y tres |
Entonces se lee dos millones setenta mil quinientos cuarenta y tres. Fijate en el cero del grupo de los miles: está ahí para decir que no hay centenas de mil. Si lo borrás, el número se convierte en 2 70 543, que no significa nada.
Al revés funciona igual. Para escribir cuatro millones ochocientos mil doce armás los tres grupos: millones = 4, miles = 800, unidades = 012. Queda 4 800 012. Los ceros no son relleno: son los que sostienen cada cifra en su casilla.
El orden en que se hacen las operaciones
Cuando en una misma línea aparecen varias operaciones, no se resuelve de izquierda a derecha como si fuera una oración. Hay un orden acordado en todo el mundo, y es este:
- Primero lo que está dentro de paréntesis.
- Después las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- De último las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
¿Por qué ese orden y no otro? Porque multiplicar es una suma repetida, así que la multiplicación es un paquete ya armado: primero se arman los paquetes y después se juntan. El paréntesis manda sobre todo porque es la forma de decir «esto va junto».
Veamos 12 + 5 × 8 − 30 ÷ 6:
- Multiplicaciones y divisiones: 5 × 8 = 40 y 30 ÷ 6 = 5.
- Queda 12 + 40 − 5.
- De izquierda a derecha: 12 + 40 = 52, y 52 − 5 = 47.
La propiedad distributiva
Multiplicar por un número feo se vuelve fácil si lo partís en pedazos cómodos y multiplicás cada pedazo. Eso es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:
a × (b + c) = a × b + a × c
No es un truco: es lo que pasa de verdad. Si comprás 6 paquetes de galletas de ₡1 250, podés pensar cada paquete como ₡1 000 más ₡250. Entonces 6 paquetes son 6 veces ₡1 000 más 6 veces ₡250:
6 × 1 250 = 6 × (1 000 + 250) = 6 000 + 1 500 = ₡7 500
La cuenta directa da lo mismo, pero esta se puede hacer en la cabeza mientras hacés fila en la pulpería.
Ejemplos resueltos
1. Leer y escribir. Escribí con cifras «tres millones cuarenta mil seis» y luego leé 9 008 070.
- Grupos del primero: millones = 3, miles = 040, unidades = 006. Queda 3 040 006.
- Para el segundo, los grupos son 9 | 008 | 070: nueve millones ocho mil setenta.
2. Compra en la feria. Doña Marta lleva 3 kilos de tomate a ₡2 500 el kilo y 4 atados de culantro a ₡1 800 cada uno. Trae un vale de descuento de ₡2 000. ¿Cuánto paga?
- La expresión es 3 × 2 500 + 4 × 1 800 − 2 000.
- Multiplicaciones primero: 3 × 2 500 = 7 500 y 4 × 1 800 = 7 200.
- Queda 7 500 + 7 200 − 2 000 = 14 700 − 2 000 = ₡12 700.
3. Distributiva para multiplicar rápido. Calculá 8 × 97 partiendo el 97.
- 97 = 90 + 7.
- 8 × 97 = 8 × 90 + 8 × 7 = 720 + 56 = 776.
4. Todo junto. Resolvé (40 − 16) ÷ 8 + 3 × 2.
- Paréntesis: 40 − 16 = 24.
- División y multiplicación: 24 ÷ 8 = 3 y 3 × 2 = 6.
- Suma final: 3 + 6 = 9.
Los errores que más se cobran
- Resolver de izquierda a derecha. En 12 + 5 × 8 se contesta 136 porque se hizo 12 + 5 = 17 y luego 17 × 8. Pasa porque leemos de izquierda a derecha y la mano sigue al ojo. La cadena de operaciones no es una oración: se lee entera antes de tocar nada.
- Comerse el cero de un grupo. Se escribe 2 70 543 o 27 543 para «dos millones setenta mil quinientos cuarenta y tres». Pasa porque al dictado se oye «setenta» y se escriben dos cifras, cuando el grupo de los miles siempre lleva tres.
- Distribuir solo el primer sumando. Se escribe 8 × (90 + 7) = 720 + 7. Pasa porque el signo × se ve pegado al 90 y el 7 parece quedar suelto. El factor de afuera entra a multiplicar a cada sumando de adentro.
- Hacer todas las sumas antes que las restas. En 20 − 8 + 5 se contesta 7 porque primero se sumó 8 + 5. Pasa por creer que la suma «manda» sobre la resta. Suma y resta están en el mismo escalón y se resuelven de izquierda a derecha: 20 − 8 = 12, y 12 + 5 = 17.
- Invertir la división. En 30 ÷ 6 se contesta 0,2 porque se dividió 6 entre 30. La división no se puede voltear: el primer número es el que se reparte.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: leer números grandes y respetar el orden de las operaciones.
Tres preguntas para hacerle
- En 12 + 5 × 8, ¿cuánto da? → 52: primero la multiplicación
- ¿Se resuelve de izquierda a derecha? → No siempre: manda la jerarquía
- ¿Qué hace el paréntesis? → Obliga a resolver eso primero
Si se traba. Si resuelve de izquierda a derecha, escriba la jerarquía en un papel y téngalo a la vista.
Cinco minutos en la casa. Dele tres expresiones con suma y multiplicación y que las resuelva.
Clave de análisis
Si el número es largo, separalo en grupos de tres desde la derecha antes de leerlo. Si la línea tiene varias operaciones, subrayá primero los paréntesis, después los × y ÷, y dejá los + y − de último; dentro del mismo escalón, siempre de izquierda a derecha. Y si tenés que multiplicar por un número incómodo, partilo en decenas y unidades: el de afuera multiplica a los dos pedazos, sin excepción.