Fracciones propias, impropias y notación mixta
Al terminar vas a poder distinguir una fracción propia de una impropia, convertir una fracción impropia en un número mixto y volver a convertirlo en fracción, y reconocer cuándo dos fracciones son homogéneas o heterogéneas.
Propia o impropia: ¿llega a la unidad o se pasa?
En una fracción, el denominador dice en cuántas partes iguales se partió la unidad y el numerador dice cuántas de esas partes se tomaron.
- Si el numerador es menor que el denominador, tomaste menos de una unidad entera. Eso es una fracción propia: 3/4, 2/5, 7/10.
- Si el numerador es igual o mayor que el denominador, tomaste una unidad entera o más. Eso es una fracción impropia: 4/4, 7/4, 11/3.
Una fracción impropia no está «mal hecha». La palabra impropia solo quiere decir que pasa de la unidad.
Una fracción impropia es un entero más un pedacito
Mirá 7/4. Como cada 4 cuartos forman una unidad entera, podemos separar:
7/4 = 4/4 + 3/4 = 1 + 3/4
Ahí está: 7/4 es un entero y tres cuartos. El mismo procedimiento con 11/3:
11/3 = 3/3 + 3/3 + 3/3 + 2/3 = 3 + 2/3
Y hay un atajo que sale de la división. Dividí el numerador entre el denominador:
- 11 ÷ 3 = 3 y sobra 2.
- El cociente 3 es el entero, el residuo 2 es el nuevo numerador, y el denominador no cambia.
La notación mixta
Escribir «3 + 2/3» es correcto, pero se acostumbra escribirlo más corto: 3 2/3, que se lee «tres enteros y dos tercios». Eso es la notación mixta: un número natural pegado a una fracción propia.
Para volver de mixto a fracción impropia se hace el camino inverso: el entero se convierte en fracción con el mismo denominador y se suma.
2 3/8 = 2 + 3/8 = 16/8 + 3/8 = 19/8
El atajo es: entero × denominador + numerador, todo sobre el mismo denominador. Con 2 3/8: (2 × 8 + 3) / 8 = 19/8. Y no es una receta suelta: 2 × 8 = 16 es exactamente cuántos octavos hay en 2 unidades.
Homogéneas y heterogéneas
Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo denominador, y heterogéneas cuando tienen denominadores distintos.
| fracciones | ¿cómo son? | por qué |
|---|---|---|
| 2/9 y 5/9 | homogéneas | las dos parten la unidad en 9 |
| 3/4 y 5/6 | heterogéneas | una parte en 4 y la otra en 6 |
| 7/5 y 1/5 | homogéneas | las dos parten la unidad en 5, aunque una sea impropia |
Esto importa mucho, porque con fracciones homogéneas las piezas son del mismo tamaño y se pueden comparar, sumar y restar de frente. Con heterogéneas, las piezas no miden lo mismo y hay que emparejarlas primero.
Ejemplos resueltos
1. Clasificar. Decidí si 9/4, 5/8, 6/6 y 12/7 son propias o impropias.
- 9/4: numerador 9 mayor que 4 → impropia.
- 5/8: 5 menor que 8 → propia.
- 6/6: numerador igual al denominador → impropia (vale exactamente 1).
- 12/7: 12 mayor que 7 → impropia.
2. De impropia a mixta. Escribí 17/5 en notación mixta.
- 17 ÷ 5 = 3 y sobra 2.
- Entero 3, numerador 2, denominador 5: 3 2/5.
- Compruebo: 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5.
3. De mixta a impropia. Escribí 4 5/6 como fracción impropia.
- 4 × 6 = 24 sextos en los cuatro enteros.
- 24 + 5 = 29.
- Queda 29/6. Compruebo: 29 ÷ 6 = 4 y sobra 5.
4. En la pulpería. Don Rafael vendió 11/4 de kilo de queso. ¿Cuántos kilos enteros vendió y cuánto le quedó suelto?
- 11 ÷ 4 = 2 y sobra 3.
- Vendió 2 kilos enteros y 3/4 de kilo, es decir 2 3/4 kg.
5. Homogéneas o heterogéneas. Clasificá los pares 3/10 y 7/10; 2/3 y 2/5.
- 3/10 y 7/10 tienen el mismo denominador → homogéneas.
- 2/3 y 2/5 tienen denominadores distintos → heterogéneas, aunque el numerador coincida.
Los errores que más se cobran
- Creer que una fracción impropia está mal escrita y voltearla. Se recibe 7/4 y se contesta 4/7. Pasa porque la palabra «impropia» suena a incorrecta y el estudiante trata de «arreglarla». Voltear la fracción cambia el número por completo: 7/4 es más que uno y 4/7 es menos que uno.
- En la notación mixta, multiplicar el entero por el numerador. En 2 3/8 se calcula 2 × 3 = 6 y se escribe 6/8. Pasa porque el numerador queda más cerca del entero al leer. El entero se cambia por unidades del tamaño del denominador, así que se multiplica por el denominador.
- Usar el residuo como denominador. De 17/5 se contesta 3 5/2. Pasa por invertir los papeles al salir de la división. El residuo va arriba y el denominador no cambia nunca.
- Leer «3 2/5» como una multiplicación. Se calcula 3 × 2/5 = 6/5. Pasa porque en álgebra dos cosas pegadas sí se multiplican, pero en notación mixta el espacio significa más: 3 2/5 es 3 + 2/5.
- Llamar homogéneas a fracciones con el mismo numerador. Se dice que 2/3 y 2/5 son homogéneas. Pasa porque el ojo se va al número que se repite. Lo que tiene que coincidir es el denominador, que es el que fija el tamaño de las piezas.
Clave de análisis
Compará numerador con denominador: si el de arriba es menor, es propia; si es igual o mayor, es impropia. Para pasar de impropia a mixta, dividí y usá cociente, residuo y el mismo denominador. Para volver, multiplicá el entero por el denominador y sumá el numerador. Y para decidir si dos fracciones son homogéneas, mirá solo abajo.