Múltiplos, pares e impares, y divisores

Al terminar vas a poder listar los múltiplos de un número, decir si un número es par o impar y por qué, encontrar todos los divisores de un número natural sin dejar ninguno por fuera, y usar esas ideas para resolver problemas de repartos y de horarios.

Los múltiplos: la tabla que nunca se acaba

Un múltiplo de un número es lo que se obtiene al multiplicarlo por 1, por 2, por 3, y así seguido. Los múltiplos de 7 son:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, …

Los puntos suspensivos no son adorno: la lista de múltiplos no termina nunca, porque siempre podés multiplicar por un número más grande. Fijate en dos cosas que se usan mucho:

• Todo número es múltiplo de sí mismo (7 × 1 = 7).
• El cero es múltiplo de todos (7 × 0 = 0).

Los múltiplos sirven para los problemas de «cada tanto se repite». Si de la parada de Heredia sale un bus cada 15 minutos y otro cada 20 minutos, y los dos salieron juntos a las 6:00, ¿cuándo vuelven a salir juntos?

• Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75…
• Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80…

El primer minuto que aparece en las dos listas es el 60. Vuelven a coincidir a las 7:00.

Pares e impares

Un número es par si es múltiplo de 2, es decir, si se puede repartir en dos grupos iguales sin que sobre nada. Es impar si no.

Los pares terminan en 0, 2, 4, 6 u 8. Los impares terminan en 1, 3, 5, 7 o 9. Y esto no es casualidad: cualquier número se puede escribir como sus decenas por 10 más sus unidades. Por ejemplo, 3 476 = 347 × 10 + 6. La parte de las decenas siempre es par, porque 10 es par. Entonces lo único que decide es la cifra de las unidades.

Los divisores: quién cabe exacto

Un divisor de un número es un natural que lo divide dejando residuo cero. Decir «3 es divisor de 24» es lo mismo que decir «24 es múltiplo de 3»: son la misma relación vista desde los dos lados.

Para encontrar todos los divisores de un número hay un método que no deja ninguno por fuera: buscar de a parejas, empezando en 1 y subiendo.

Busquemos los divisores de 24:

Cuando llegás a 5 y el resultado de las parejas anteriores ya bajó hasta 6, sabés que estás por cruzarte con lo que ya encontraste y podés parar. Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Son ocho.

Todo número natural mayor que 1 tiene al menos dos divisores: el 1 y él mismo.

Ejemplos resueltos

1. Los primeros seis múltiplos de 9. Multiplico 9 por 1, 2, 3, 4, 5 y 6:

9, 18, 27, 36, 45, 54.

2. Todos los divisores de 36. Voy por parejas:

• 1 × 36 = 36 → 1 y 36
• 2 × 18 = 36 → 2 y 18
• 3 × 12 = 36 → 3 y 12
• 4 × 9 = 36 → 4 y 9
• 5 no divide (36 ÷ 5 deja residuo 1)
• 6 × 6 = 36 → 6 (aquí la pareja es el mismo número, y ahí se para)

Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Son nueve.

3. Acomodar sillas. En la escuela hay 30 sillas y hay que acomodarlas en filas iguales, sin que sobre ninguna. ¿De cuántas maneras se puede?

• Busco los divisores de 30: 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10, 5 × 6. El 4 no divide (30 ÷ 4 deja residuo 2).
• Divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Son ocho, así que hay ocho maneras: 1 fila de 30, 2 de 15, 3 de 10, 5 de 6, 6 de 5, 10 de 3, 15 de 2 y 30 de 1.

4. Par o impar con cuentas. ¿Es par el resultado de 47 × 6?

• 47 × 6 = 282. Termina en 2, así que es par.
• Se podía saber antes de multiplicar: uno de los factores es 6, que es par, y cualquier cosa multiplicada por un par da par.

Los errores que más se cobran

• Confundir múltiplo con divisor. Se contesta que los múltiplos de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Pasa porque las dos palabras aparecen en la misma frase y suenan parecido. El múltiplo es más grande o igual que el número; el divisor es más pequeño o igual.
• Olvidar el 1 y el número mismo entre los divisores. Se listan los divisores de 36 como 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. Pasa porque dividir entre 1 parece que no cuenta. Cuenta: da residuo cero, que es la única condición.
• Parar la búsqueda de divisores demasiado pronto. Se encuentran 1, 2 y 3 de 24 y ahí se cierra la lista. Pasa por probar sin método. Buscar de a parejas obliga a anotar el compañero de cada divisor, y así no se pierde ninguno.
• Creer que un número que termina en 5 puede ser par. Se dice que 25 es par «porque se puede partir en 12 y medio». Pasa por olvidar que par significa repartir en dos grupos de números enteros, sin partir unidades.
• Buscar el múltiplo común empezando por el más grande. En el problema de los buses se contesta 300 porque es múltiplo de 15 y de 20. Sí lo es, pero la pregunta era cuándo vuelven a coincidir por primera vez, y eso es el primero que aparece en las dos listas.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: listar múltiplos y divisores y distinguirlos.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Los múltiplos de 24 son 1, 2, 3, 4…? → No: esos son sus divisores
2. ¿Cuáles son los primeros múltiplos de 24? → 24, 48, 72
3. ¿Qué es un divisor? → El número que lo divide exactamente

Si se traba. Si los confunde, use el atajo: el múltiplo es más grande, el divisor es más pequeño.

Cinco minutos en la casa. Dele un número y que escriba tres múltiplos y todos sus divisores.

Clave de análisis

Múltiplo y divisor son la misma relación al revés: si 24 ÷ 3 da residuo cero, entonces 3 es divisor de 24 y 24 es múltiplo de 3. Para listar múltiplos, multiplicá desde 1 hacia arriba. Para listar divisores, buscá de a parejas desde el 1 y parás cuando las parejas se cruzan. Y si el problema dice «cada tanto», «al mismo tiempo» o «coinciden», es de múltiplos; si dice «repartir en partes iguales» o «sin que sobre», es de divisores.