Reglas de divisibilidad del 2, 3, 5 y 10
Al terminar vas a poder decir si un número es divisible entre 2, 3, 5 o 10 con solo mirarlo, explicar por qué cada regla funciona, y usar las reglas para repartir, simplificar y descartar respuestas en un examen.
Qué quiere decir «divisible»
Un número es divisible entre otro cuando la división da residuo cero. Nada más. 24 es divisible entre 3 porque 24 ÷ 3 = 8 sin sobrar nada; 25 no lo es, porque 25 ÷ 3 = 8 y sobra 1.
Podrías hacer la división cada vez, pero para los divisores 2, 3, 5 y 10 hay atajos que se ven a simple vista. Y esos atajos no son magia: salen de cómo está armado nuestro sistema de numeración.
De dónde sale la regla del 2
Cualquier número se puede partir en «sus decenas por 10, más sus unidades». Por ejemplo:
3 476 = 347 × 10 + 6
La parte de la izquierda, 347 × 10, es siempre par, porque multiplicar por 10 es multiplicar por 2 y por 5. Entonces lo único que puede romper la paridad es la cifra de las unidades.
Regla del 2: un número es divisible entre 2 si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.
De dónde salen las reglas del 5 y del 10
Es el mismo razonamiento. En 3 476 = 347 × 10 + 6, la parte 347 × 10 es múltiplo de 10 y también de 5. Así que otra vez decide la última cifra:
- Regla del 10: la última cifra tiene que ser 0, porque el 0 es la única unidad que es múltiplo de 10.
- Regla del 5: la última cifra tiene que ser 0 o 5, porque 0 y 5 son las únicas unidades que son múltiplos de 5.
De aquí sale algo útil: todo número divisible entre 10 es divisible entre 2 y entre 5, porque 10 = 2 × 5.
De dónde sale la regla del 3
Esta es la más linda. Partamos 1 356 en su notación desarrollada:
1 356 = 1 000 + 300 + 50 + 6
Ahora escribamos cada potencia de diez como «un múltiplo de 3 más 1»:
- 1 000 = 999 + 1
- 100 = 99 + 1
- 10 = 9 + 1
Entonces:
1 356 = (999 + 1) + 3 × (99 + 1) + 5 × (9 + 1) + 6
Si acomodamos: 1 356 = 999 + 3 × 99 + 5 × 9 + (1 + 3 + 5 + 6)
Todo lo del primer paquete (999, 99 y 9 y sus múltiplos) es divisible entre 3. Entonces lo único que decide es el segundo paquete, que es exactamente la suma de las cifras: 1 + 3 + 5 + 6 = 15. Y 15 sí es divisible entre 3.
Regla del 3: un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
Comprobemos: 1 356 ÷ 3 = 452, exacto.
La tabla de las cuatro reglas
| divisor | qué mirar | ejemplo que sí | ejemplo que no |
|---|---|---|---|
| 2 | última cifra 0, 2, 4, 6 u 8 | 1 356 | 2 895 |
| 3 | suma de cifras divisible entre 3 | 4 230 (4+2+3+0 = 9) | 7 001 (7+0+0+1 = 8) |
| 5 | última cifra 0 o 5 | 2 895 | 1 356 |
| 10 | última cifra 0 | 4 230 | 2 895 |
Ejemplos resueltos
1. ¿Entre cuáles de 2, 3, 5 y 10 es divisible 4 230?
- Última cifra 0 → divisible entre 2, entre 5 y entre 10.
- Suma de cifras: 4 + 2 + 3 + 0 = 9, y 9 es divisible entre 3 → divisible entre 3.
- Compruebo una: 4 230 ÷ 3 = 1 410, exacto. Y 4 230 ÷ 10 = 423.
2. ¿Y 2 895?
- Última cifra 5 → divisible entre 5, pero no entre 2 ni entre 10.
- Suma de cifras: 2 + 8 + 9 + 5 = 24, divisible entre 3 → sí entre 3.
- Compruebo: 2 895 ÷ 3 = 965, exacto.
3. Repartir en la escuela. Hay que repartir 1 356 lápices en cajas de 3 sin que sobre ninguno. ¿Se puede?
- Suma de cifras: 1 + 3 + 5 + 6 = 15. Es divisible entre 3, así que sí se puede.
- Cuántas cajas: 1 356 ÷ 3 = 452 cajas.
4. Descartar sin dividir. Un problema dice que ₡7 001 se repartieron en partes iguales entre 3 personas, sin que sobrara nada. ¿Es posible?
- Suma de cifras de 7 001: 7 + 0 + 0 + 1 = 8. El 8 no es divisible entre 3.
- Entonces no es posible: la división deja residuo. En efecto, 7 001 ÷ 3 = 2 333 y sobra 2.
Los errores que más se cobran
- Sumar las cifras para probar el 2 o el 5. Se dice que 1 356 no es divisible entre 2 porque 1 + 3 + 5 + 6 = 15 es impar. Pasa por mezclar las reglas. La suma de cifras solo decide el 3; para el 2, el 5 y el 10 se mira la última cifra y nada más.
- Creer que divisible entre 5 implica divisible entre 10. Se marca 2 895 como divisible entre 10 porque termina en 5. Pasa porque 5 y 10 andan juntos en las tablas. Va al revés: divisible entre 10 sí implica divisible entre 5, pero no al contrario.
- Parar la suma de cifras en el primer paso. En 7 999 se suma 7 + 9 = 16 y se contesta que no es divisible entre 3. Pasa por apuro. Hay que sumar todas las cifras: 7 + 9 + 9 + 9 = 34, que no es divisible entre 3; el resultado coincidió, pero el método estaba mal y con otro número falla.
- Confundir «divisible entre 3» con «termina en 3». Se marca 23 como divisible entre 3. Pasa porque el ojo busca el dígito. La regla del 3 no mira ninguna cifra en particular: mira la suma de todas.
- Olvidar que el 0 cuenta en la suma. En 4 230 se suma 4 + 2 + 3 y da 9 igual, pero en 3 070 se suma 3 + 7 = 10 y se olvida que también hay que revisar bien: 3 + 0 + 7 + 0 = 10, que no es divisible entre 3. El cero suma cero, pero hay que pasarlo igual para no perder el lugar.
Clave de análisis
Para el 2, el 5 y el 10 mirá solo la última cifra: 0-2-4-6-8 para el 2, 0 o 5 para el 5, 0 pelado para el 10. Para el 3 sumá todas las cifras y preguntate si esa suma está en la tabla del 3; si la suma sigue siendo grande, volvé a sumar sus cifras. Y acordate de que las reglas existen porque 10 es múltiplo de 2 y de 5, y porque 9, 99 y 999 son múltiplos de 3.