Ecuaciones de primer grado

Al terminar vas a poder comprobar si un número es solución de una ecuación sustituyéndolo, resolver ecuaciones de primer grado deshaciendo operaciones, y traducir un problema a una ecuación para encontrar el dato que falta.

Qué es una ecuación y qué es su solución

Una ecuación es una igualdad que contiene una cantidad desconocida, representada por una letra. Se llama de primer grado cuando la letra aparece sola, sin exponente.

3x − 4 = 11

La solución es el número que, puesto en el lugar de la letra, hace que la igualdad sea verdadera.

Comprobar si un número es solución

Este es el procedimiento más fácil del tema y el que más puntos salva: se sustituye y se revisa.

¿Es 5 solución de 3x − 4 = 11?

• Sustituyo: 3 × 5 − 4.
• Calculo respetando la jerarquía: 15 − 4 = 11.
• El lado derecho dice 11. Los dos lados coinciden, así que sí, 5 es solución.

¿Es 4 solución de la misma ecuación?

• 3 × 4 − 4 = 12 − 4 = 8, y el derecho dice 11.
• No lo es.

Fijate en que comprobar no exige saber resolver: solo hay que sustituir bien y calcular bien.

Resolver: deshacer operaciones

Resolver es encontrar la solución sin adivinar. La idea es dejar la letra sola, deshaciendo con la operación inversa lo que le hicieron, y en orden inverso: lo último que le hicieron es lo primero que se quita.

Y la regla de oro: lo que se le hace a un lado del igual se le hace al otro, porque una balanza solo se mantiene equilibrada si se quita o se pone lo mismo de los dos lados.

Resolvamos 3x − 4 = 11:

• Lo último que le hicieron fue restar 4, así que sumo 4 a los dos lados: 3x = 11 + 4 = 15.
• Después lo multiplicaron por 3, así que divido entre 3 los dos lados: x = 15 ÷ 3 = 5.
• Comprobación: 3 × 5 − 4 = 11. Verdadero.

De un problema a una ecuación

Los cuatro pasos son siempre los mismos:

1. Nombrá con una letra lo que no se conoce, y escribí qué representa.
2. Traducí el enunciado a una igualdad.
3. Resolvé la ecuación.
4. Comprobá en el enunciado, no solo en la ecuación.

El paso 4 importa porque a veces la ecuación se resuelve bien pero estaba mal planteada, y comprobar contra la situación real lo destapa.

Ejemplos resueltos

1. Comprobar. ¿Es 7 solución de 2x + 3 = 17?

• 2 × 7 + 3 = 14 + 3 = 17. El derecho dice 17.
• Sí, 7 es solución.

2. Descartar. ¿Es 6 solución de 2x + 3 = 17?

• 2 × 6 + 3 = 12 + 3 = 15, y el derecho dice 17.
• No lo es.

3. Resolver con dos operaciones. Resolvé 5x + 8 = 43.

• Resto 8 a los dos lados: 5x = 43 − 8 = 35.
• Divido entre 5: x = 35 ÷ 5 = 7.
• Comprobación: 5 × 7 + 8 = 35 + 8 = 43.

4. Resolver con división. Resolvé x ÷ 4 + 3 = 10.

• Resto 3: x ÷ 4 = 7.
• Multiplico por 4: x = 7 × 4 = 28.
• Comprobación: 28 ÷ 4 + 3 = 7 + 3 = 10.

5. Un número y su doble. Un número más su doble es 45. ¿Cuál es el número?

• Llamo x al número: x + 2x = 45, o sea 3x = 45.
• x = 45 ÷ 3 = 15.
• Comprobación en el enunciado: 15 + 30 = 45.

6. La compra de Marta. Marta compró 4 cuadernos iguales y un lapicero de ₡500, y gastó ₡4 900. ¿Cuánto costó cada cuaderno?

• Llamo c al precio de un cuaderno: 4c + 500 = 4 900.
• Resto 500: 4c = 4 400.
• Divido entre 4: c = ₡1 100.
• Comprobación: 4 × 1 100 = 4 400, más 500, da 4 900.

7. La edad. Dentro de 8 años, Sofía tendrá 20. ¿Cuántos años tiene hoy?

• Llamo e a su edad actual: e + 8 = 20.
• e = 20 − 8 = 12 años.

8. El reparto. Se reparten ₡36 000 en partes iguales entre varias personas y a cada una le tocan ₡4 500. ¿Cuántas personas son?

• Llamo p a la cantidad de personas: 36 000 ÷ p = 4 500.
• Entonces p × 4 500 = 36 000, así que p = 36 000 ÷ 4 500 = 8 personas.

Los errores que más se cobran

• Sustituir mal por saltarse la jerarquía. Al comprobar 3x − 4 = 11 con x = 5 se calcula 3 × (5 − 4) = 3. Pasa por leer la expresión de corrido. Primero la multiplicación y después la resta, salvo que haya paréntesis.
• Deshacer las operaciones en el orden equivocado. En 3x − 4 = 11 se divide primero entre 3. Pasa porque la multiplicación se lee antes en el renglón. Se deshace al revés: primero lo último que se le hizo al desconocido, que acá es la resta.
• Operar en un solo lado del igual. Se escribe 3x = 11 y se sigue. Pasa por tratar la ecuación como una cuenta y no como una balanza. Lo que se hace de un lado se hace del otro.
• Usar la misma operación en vez de la inversa. En e + 8 = 20 se contesta 28. Pasa porque el signo + está a la vista. Para despejar hay que hacer lo contrario.
• No comprobar en el enunciado. Se resuelve bien una ecuación mal planteada y se entrega. Pasa por dar el problema por terminado al llegar al número. Volvé al enunciado y revisá que la respuesta tenga sentido en la situación.
• Nombrar con una letra sin decir qué representa. Se escribe x = 4 900 y después no se sabe si era el total o el precio de un cuaderno. Pasa por saltarse el primer paso. Escribir «x es el precio de un cuaderno» toma tres segundos y ordena todo lo demás.

Clave de análisis

Para comprobar, sustituí el número en la letra, calculá respetando la jerarquía y revisá si los dos lados coinciden. Para resolver, dejá la letra sola deshaciendo las operaciones en orden inverso, siempre a los dos lados del igual. Y para los problemas: nombrá lo desconocido, traducí el enunciado a una igualdad, resolvé y comprobá en la situación, no solo en la ecuación.