Inecuaciones de primer grado

Al terminar vas a poder leer los signos <, >, ≤ y ≥, comprobar si un número es solución de una inecuación, encontrar todos los valores que la cumplen, y plantear problemas de «cuánto es lo máximo que puedo» con una inecuación.

De la ecuación a la inecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales y casi siempre tiene una sola solución. Una inecuación dice que una cosa es mayor o menor que otra, y por eso suele tener muchas soluciones.

La diferencia entre < y ≤ decide problemas completos. «Menor que 5» deja el 5 afuera; «menor o igual que 5» lo deja adentro.

Comprobar si un número es solución

Igual que con las ecuaciones: se sustituye y se revisa, pero en vez de mirar si los dos lados coinciden, se mira si la desigualdad se cumple.

¿Es 8 solución de x + 3 > 10?

• Sustituyo: 8 + 3 = 11.
• ¿Es 11 mayor que 10? Sí. Entonces 8 es solución.

¿Es 7 solución de la misma inecuación?

• 7 + 3 = 10. ¿Es 10 mayor que 10? No, es igual.
• Entonces 7 no es solución. Con el signo ≥ sí lo sería.

Encontrar todas las soluciones

Se resuelve igual que una ecuación: deshaciendo operaciones a los dos lados. El signo se mantiene.

Resolvamos 2x + 1 ≤ 13:

• Resto 1 a los dos lados: 2x ≤ 12.
• Divido entre 2 los dos lados: x ≤ 6.

La respuesta no es un número, es un conjunto: sirven el 6 y todos los naturales menores, o sea 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Comprobación en los bordes, que es donde se decide:

• Con x = 6: 2 × 6 + 1 = 13, y 13 ≤ 13 se cumple. Sirve.
• Con x = 7: 2 × 7 + 1 = 15, y 15 ≤ 13 no se cumple. No sirve.

Los problemas de «cuánto es lo máximo»

Las inecuaciones aparecen en la vida cada vez que hay un límite: un presupuesto, la capacidad de un ascensor, el peso máximo de un puente, el cupo de un bus. Las palabras que las delatan son: a lo sumo, como máximo, no más de, alcanza para, al menos, por lo menos.

Y hay un paso final que se cobra mucho: cuando la respuesta cae en un decimal, hay que devolverla a la realidad. Si la inecuación da x ≤ 4,16 y x son cuadernos, la respuesta es 4 cuadernos, porque no se compran pedazos de cuaderno.

Ejemplos resueltos

1. Comprobar. ¿Es 5 solución de 3x < 20?

• 3 × 5 = 15. ¿Es 15 menor que 20? Sí.
• Sí es solución.

2. Comprobar el borde. ¿Es 4 solución de 2x ≥ 8?

• 2 × 4 = 8. ¿Es 8 mayor o igual que 8? Sí, por la parte del «igual».
• Sí es solución. Con el signo > no lo sería.

3. Resolver. Encontrá los naturales que cumplen x + 6 < 11.

• Resto 6: x < 5.
• Sirven 0, 1, 2, 3 y 4. El 5 no, porque 5 + 6 = 11 y 11 no es menor que 11.

4. Resolver con dos operaciones. Encontrá los naturales que cumplen 4x − 3 ≤ 17.

• Sumo 3: 4x ≤ 20.
• Divido entre 4: x ≤ 5.
• Sirven 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Comprobación con 5: 4 × 5 − 3 = 17, y 17 ≤ 17 se cumple.

5. El presupuesto. Ana tiene ₡5 000 y cada cuaderno cuesta ₡1 200. ¿Cuántos cuadernos puede comprar como máximo?

• Llamo n a la cantidad de cuadernos: 1 200n ≤ 5 000.
• n ≤ 5 000 ÷ 1 200 = 4,16.
• Como no se compran pedazos de cuaderno, puede comprar 4 cuadernos.
• Comprobación: 4 × 1 200 = 4 800, que sí le alcanza; 5 × 1 200 = 6 000, que no.

6. El ascensor. Un ascensor aguanta 500 kg y cada persona pesa en promedio 60 kg. ¿Cuántas personas pueden subir?

• 60n ≤ 500, así que n ≤ 500 ÷ 60 = 8,33.
• Pueden subir 8 personas.
• Comprobación: 8 × 60 = 480 kg, que aguanta; 9 × 60 = 540 kg, que se pasa.

7. Con «al menos». Para aprobar hay que sacar al menos 70 puntos y Luis ya lleva 45. ¿Cuántos puntos más necesita?

• 45 + p ≥ 70, así que p ≥ 25.
• Necesita 25 puntos o más.

8. Con un costo fijo. Un taxi cobra ₡700 de banderazo más ₡500 por kilómetro, y Daniel tiene ₡4 200. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer?

• 700 + 500k ≤ 4 200.
• Resto 700: 500k ≤ 3 500.
• Divido entre 500: k ≤ 7 kilómetros.
• Comprobación: 700 + 500 × 7 = 700 + 3 500 = 4 200. Le alcanza justo.

Los errores que más se cobran

• Contestar un solo número. Se resuelve x ≤ 6 y se entrega «6». Pasa por tratar la inecuación como ecuación. La respuesta es todos los valores que la cumplen; el 6 es apenas el borde.
• Confundir < con ≤ en el borde. Se incluye el 5 en x < 5, o se excluye el 6 en x ≤ 6. Pasa por leer el signo de reojo. La rayita de abajo significa que el borde sí entra.
• Redondear hacia arriba en un problema de presupuesto. De n ≤ 4,16 se contesta 5 cuadernos porque «4,16 se redondea a 4, pero por si acaso». Pasa por aplicar la regla de redondeo de números en vez de mirar la situación. Con 5 cuadernos no alcanza la plata: la respuesta es 4.
• Escoger el signo contrario al que pide la frase. «Como máximo» se traduce con ≥. Pasa por no detenerse en la palabra clave. Máximo y «le alcanza para» piden ≤; mínimo y «al menos» piden ≥.
• Olvidar el costo fijo. En el taxi se plantea 500k ≤ 4 200 y se contesta 8 kilómetros. Pasa porque el banderazo se lee al principio y se olvida al plantear. El monto fijo se suma antes de comparar.
• No comprobar los dos bordes. Se entrega una respuesta sin probar el valor siguiente. Pasa por confiar en el despeje. Probar el borde y el que sigue confirma la respuesta en diez segundos.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: leer los signos de desigualdad y resolver inecuaciones.

Tres preguntas para hacerle

1. La solución de x ≤ 6, ¿es solo el 6? → No: son todos los menores o iguales
2. ¿Cómo se representa? → En la recta numérica
3. ¿Qué significa ≥? → Mayor o igual que

Si se traba. Si contesta un solo número, pídale tres números más que también cumplan.

Cinco minutos en la casa. Dele una inecuación y que dibuje su solución en una recta.

Clave de análisis

Una inecuación tiene muchas soluciones y se resuelve igual que una ecuación: deshaciendo operaciones a los dos lados. Leé bien el signo, porque ≤ y ≥ incluyen el borde y < y > no. Buscá en el enunciado la palabra que fija el límite —máximo, al menos, le alcanza— para elegir el signo. Y al final, devolvé la respuesta a la realidad: si la solución es un decimal y se cuentan objetos o personas, tomá el entero que sí cumple y comprobá el siguiente.