Relaciones y Álgebra
Sucesiones y patrones
Al terminar vas a poder descubrir la regla de una sucesión de números o de figuras, continuarla, escribir la regla con números y letras, y usarla para contestar por un término lejano sin dibujar todos los anteriores.
Qué es una sucesión
Una sucesión es una lista ordenada de números o de figuras que sigue una regla. Cada elemento se llama término, y ocupa una posición: primero, segundo, tercero.
3, 7, 11, 15, 19, …
Los puntos suspensivos dicen que la lista sigue. Lo interesante no son los números que están, sino la regla que los produce, porque con ella se puede contestar cuánto vale el término 50 sin escribir los 49 anteriores.
Cómo se descubre la regla
El procedimiento tiene tres pasos, y hay que hacerlos en orden.
Paso 1: mirá la diferencia entre términos seguidos.
En 3, 7, 11, 15, 19: de 3 a 7 hay +4; de 7 a 11 hay +4; y así. La diferencia es constante e igual a 4. Cuando la diferencia es constante, la sucesión se llama aritmética.
Paso 2: si la diferencia no es constante, probá con el cociente.
En 2, 6, 18, 54: 6 ÷ 2 = 3; 18 ÷ 6 = 3; 54 ÷ 18 = 3. Acá lo constante es la multiplicación por 3.
Paso 3: si no es ni lo uno ni lo otro, buscá otro patrón.
En 1, 4, 9, 16, 25 las diferencias son 3, 5, 7, 9: no son constantes. Pero los términos son 1², 2², 3², 4², 5²: son los cuadrados perfectos.
Escribir la regla con letras
Una regla escrita en palabras sirve para continuar; escrita con letras sirve para saltar a cualquier término.
Para 3, 7, 11, 15, 19 con diferencia 4, la regla se arma así:
| posición (n) | término | cuenta |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 × 1 − 1 |
| 2 | 7 | 4 × 2 − 1 |
| 3 | 11 | 4 × 3 − 1 |
| 4 | 15 | 4 × 4 − 1 |
La regla es término = 4 × n − 1. El 4 viene de la diferencia y el −1 es el ajuste que hace calzar el primer término.
Comprobación con n = 5: 4 × 5 − 1 = 20 − 1 = 19. Calza.
Y ahora el salto largo: el término 50 es 4 × 50 − 1 = 200 − 1 = 199, sin escribir los 49 anteriores.
Patrones con figuras
Las sucesiones también se hacen con figuras, y lo que se cuenta es cuántos elementos tiene cada una.
Con palillos se arman triángulos pegados en fila:
| triángulos | palillos | cuenta |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2 × 1 + 1 |
| 2 | 5 | 2 × 2 + 1 |
| 3 | 7 | 2 × 3 + 1 |
| 4 | 9 | 2 × 4 + 1 |
Regla: palillos = 2 × n + 1. Se entiende mirando el dibujo: el primer triángulo gasta 3 palillos y cada triángulo nuevo agrega solo 2, porque comparte un lado con el anterior.
Con cuadritos se arman escaleras: 1, 3, 6, 10, 15 cuadritos. Las diferencias son 2, 3, 4, 5: cada escalón nuevo agrega una fila con un cuadrito más que la anterior.
Ejemplos resueltos
1. Continuar una sucesión aritmética. Continuá tres términos: 8, 13, 18, 23, …
- Diferencia: 13 − 8 = 5.
- Siguen: 23 + 5 = 28, 28 + 5 = 33, 33 + 5 = 38.
2. Escribir la regla. ¿Cuál es la regla de 8, 13, 18, 23?
- Diferencia 5, así que aparece 5 × n.
- Con n = 1: 5 × 1 = 5, pero el término es 8: sobran 3.
- Regla: término = 5 × n + 3. Comprobación con n = 4: 5 × 4 + 3 = 23. Calza.
3. Un término lejano. ¿Cuál es el término 30 de la sucesión anterior?
- 5 × 30 + 3 = 150 + 3 = 153.
4. Sucesión que multiplica. Continuá: 3, 6, 12, 24, …
- Cada término es el doble del anterior.
- Siguen: 48, 96, 192.
5. Patrón de figuras. Con palillos se hacen cuadrados pegados en fila: 1 cuadrado gasta 4 palillos, 2 cuadrados gastan 7, 3 cuadrados gastan 10. ¿Cuántos gastan 12 cuadrados?
- La diferencia es 3: cada cuadrado nuevo agrega 3 palillos porque comparte un lado.
- Regla: palillos = 3 × n + 1. Comprobación con n = 3: 3 × 3 + 1 = 10. Calza.
- Con n = 12: 3 × 12 + 1 = 36 + 1 = 37 palillos.
6. Problema con sucesión. Un ahorro empieza con ₡2 000 y cada semana se agregan ₡1 500. ¿Cuánto hay en la semana 20?
- Semana 1: 2 000. Semana 2: 3 500. La diferencia es 1 500.
- Regla: monto = 1 500 × n + 500. Comprobación con n = 1: 1 500 + 500 = 2 000. Calza.
- Semana 20: 1 500 × 20 + 500 = 30 000 + 500 = ₡30 500.
7. Al revés. En la sucesión 4, 9, 14, 19, ¿qué posición ocupa el 54?
- Diferencia 5, regla: término = 5 × n − 1. Comprobación con n = 1: 5 − 1 = 4. Calza.
- 5 × n − 1 = 54 → 5 × n = 55 → n = 11.
Los errores que más se cobran
- Sacar la regla de una sola diferencia. Se mira de 3 a 7 y se concluye que suma 4, sin revisar las demás. Pasa por apuro. La diferencia tiene que ser la misma entre todos los pares seguidos; si no, la sucesión no es aritmética.
- Olvidar el ajuste de la regla. Se escribe término = 4 × n para 3, 7, 11. Pasa porque la diferencia salta a la vista y el ajuste no. Después de poner el factor, hay que comprobar con n = 1 y corregir con la suma o la resta que haga falta.
- Confundir la posición con el término. Se contesta 50 cuando preguntaban el término 50. Pasa por leer rápido. La n es el lugar; el término es el valor que ocupa ese lugar.
- Contar todos los palillos de cada figura por separado. Se dibujan los 12 cuadrados uno por uno para contar. Pasa por no ver que los lados se comparten. La regla existe justamente para no tener que dibujar.
- Sumar cuando la sucesión multiplica. En 3, 6, 12, 24 se contesta 30 porque «de 24 a 30 hay 6». Pasa por aplicar la primera diferencia a todo. Acá lo constante es el cociente, no la diferencia.
- No comprobar la regla en varios términos. Se entrega una regla que calza con el primero y falla con el tercero. Pasa por confiar en un solo caso. La regla se prueba en todos los términos conocidos antes de usarla.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: descubrir la regla de una sucesión y escribirla.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Alcanza con una sola diferencia? → No: hay que comprobarla en toda la serie
- En 3, 7, 11, ¿cuál es la regla? → Sumar 4
- ¿Cómo se escribe el término general? → Con la posición y la regla
Si se traba. Si saca la regla de una diferencia, pídale que la compruebe en el tercero y el cuarto término.
Cinco minutos en la casa. Arme una serie con objetos y que escriba su regla y el término diez.
Clave de análisis
Primero mirá si la diferencia entre términos seguidos es constante; si lo es, esa diferencia es el factor de la regla y solo falta el ajuste, que se encuentra probando con n = 1. Si la diferencia no es constante, probá el cociente; si tampoco, buscá otro patrón como los cuadrados. En patrones de figuras, fijate en cuánto se agrega de un paso al siguiente y por qué. Y comprobá siempre la regla en todos los términos que ya tenés.