Relaciones y Álgebra
Expresiones algebraicas y puntos en el plano
Al terminar vas a poder traducir a lenguaje algebraico una expresión escrita con palabras, armar una tabla de valores a partir de una relación entre dos cantidades, y representar en el plano de coordenadas los puntos que la satisfacen.
Traducir palabras a letras
El lenguaje algebraico usa letras para las cantidades desconocidas o que varían, y los signos de siempre para las operaciones. Traducir es ir frase por frase:
| en palabras | en lenguaje algebraico |
|---|---|
| un número cualquiera | n |
| el doble de un número | 2n |
| el triple de un número | 3n |
| la mitad de un número | n ÷ 2 |
| un número aumentado en 6 | n + 6 |
| un número disminuido en 6 | n − 6 |
| el doble de un número, más 5 | 2n + 5 |
| el doble de la suma de un número y 5 | 2 × (n + 5) |
| el cuadrado de un número | n² |
| el 20 % de un número | (n × 20) ÷ 100 |
Cuando una letra va pegada a un número, hay una multiplicación escondida: 2n quiere decir 2 × n. Es solo una forma abreviada.
El paréntesis cambia todo. «El doble de un número más 5» y «el doble de la suma de un número y 5» no son lo mismo. Con n = 4:
- 2n + 5 = 2 × 4 + 5 = 8 + 5 = 13
- 2 × (n + 5) = 2 × (4 + 5) = 2 × 9 = 18
La palabra clave es «de la suma»: si aparece, la suma va primero y lleva paréntesis.
De la relación a la tabla
Cuando dos cantidades varían juntas, la relación se escribe con dos letras, normalmente x para la que manda y y para la que obedece.
Tomemos y = 2x + 1. Para armar la tabla, se le dan valores a x y se calcula y:
| x | cuenta | y | punto |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 × 0 + 1 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 2 × 1 + 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 2 × 2 + 1 | 5 | (2, 5) |
| 3 | 2 × 3 + 1 | 7 | (3, 7) |
| 4 | 2 × 4 + 1 | 9 | (4, 9) |
Cada renglón de la tabla es un punto del plano: la x es el primer número del par y la y el segundo.
Del punto al plano
Ubicando esos puntos en el primer cuadrante y uniéndolos, aparece una línea recta. Eso pasa siempre que la relación es del tipo y = algo por x, más o menos un número fijo.
Para comprobar si un punto satisface la relación, se sustituyen sus dos coordenadas y se revisa si la igualdad se cumple:
- ¿Satisface (5, 11) la relación y = 2x + 1? Sustituyo: 2 × 5 + 1 = 11. Y el punto dice y = 11. Sí la satisface.
- ¿Y (5, 12)? 2 × 5 + 1 = 11, y el punto dice 12. No la satisface, así que queda fuera de la recta.
Con una situación de verdad
Una soda escolar vende el refresco a ₡600 y cobra ₡200 fijos por el empaque de la orden. Si x son los refrescos y y el total:
y = 600x + 200
| x (refrescos) | y (colones) | punto |
|---|---|---|
| 1 | 800 | (1, 800) |
| 2 | 1 400 | (2, 1 400) |
| 3 | 2 000 | (3, 2 000) |
| 5 | 3 200 | (5, 3 200) |
Las cuentas: 600 × 1 + 200 = 800; 600 × 2 + 200 = 1 400; 600 × 3 + 200 = 2 000; 600 × 5 + 200 = 3 200.
Ejemplos resueltos
1. Traducir. Escribí en lenguaje algebraico: «el triple de un número, disminuido en 8».
- Triple: 3n. Disminuido en 8: se resta 8.
- 3n − 8.
2. Traducir con paréntesis. Escribí: «la mitad de la suma de un número y 12», y evaluala con n = 8.
- (n + 12) ÷ 2.
- Con n = 8: (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10.
3. De algebraico a palabras. ¿Cómo se lee 5n + 7?
- «El quíntuplo de un número, aumentado en siete», o «cinco veces un número, más siete».
4. Armar la tabla. Completá la tabla de y = 3x para x = 0, 1, 2 y 4.
- x = 0 → y = 0; x = 1 → y = 3; x = 2 → y = 6; x = 4 → y = 12.
- Puntos: (0, 0), (1, 3), (2, 6), (4, 12).
5. Comprobar un punto. ¿Está el punto (6, 20) en la recta de y = 3x + 2?
- 3 × 6 + 2 = 18 + 2 = 20, y el punto dice 20.
- Sí, lo satisface.
6. Un punto que no calza. ¿Está (4, 15) en y = 3x + 2?
- 3 × 4 + 2 = 14, y el punto dice 15.
- No: queda una unidad por encima de la recta.
7. De la situación al punto. Con la soda de arriba, ¿cuánto paga alguien que compra 4 refrescos, y qué punto le corresponde?
- 600 × 4 + 200 = 2 400 + 200 = ₡2 600.
- El punto es (4, 2 600).
Los errores que más se cobran
- Traducir palabra por palabra sin mirar el orden. «Cinco menos que un número» se escribe 5 − n. Pasa por copiar los elementos en el orden en que se oyen. La frase dice que al número se le quitan cinco: es n − 5.
- Olvidar el paréntesis. «El doble de la suma de un número y 5» se escribe 2n + 5. Pasa porque la frase se parece a la otra. Si dice «de la suma», la suma se hace primero y lleva paréntesis.
- Invertir las coordenadas al graficar. El punto (2, 5) se ubica donde va el (5, 2). Pasa porque al mirar el plano el ojo se va primero al eje vertical. El par es ordenado: primero x, después y.
- Calcular la tabla saltándose la jerarquía. Para y = 2x + 1 con x = 3 se calcula 2 × (3 + 1) = 8. Pasa por leer la expresión de corrido. Primero la multiplicación y después la suma, salvo que haya paréntesis.
- Unir los puntos sin comprobar que estén alineados. Se marca un punto mal calculado y se fuerza la recta a pasar por él. Pasa por confiar en el dibujo antes que en la cuenta. Si un punto se sale de la línea, casi siempre es un error de cálculo: revisalo.
- Creer que un punto está en la recta porque se ve cerca. Se acepta (4, 15) para y = 3x + 2. Pasa por decidir con el ojo. La única prueba es sustituir y ver si la igualdad se cumple.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: traducir a lenguaje algebraico y ubicar puntos en el plano.
Tres preguntas para hacerle
- «Cinco menos que un número», ¿cómo se escribe? → n − 5, no 5 − n
- ¿Qué se lee primero en un par ordenado? → La coordenada horizontal
- ¿(2, 5) es lo mismo que (5, 2)? → No
Si se traba. Si traduce palabra por palabra, pregúntele a qué se le quita qué.
Cinco minutos en la casa. Dele tres frases y que las escriba en lenguaje algebraico.
Clave de análisis
Traducí frase por frase, acordándote de que «menos que» invierte el orden y de que «de la suma» pide paréntesis. Para graficar una relación, armá primero la tabla dándole valores a x y calculando y, y después ubicá cada renglón como un punto, siempre x primero. Y para saber si un punto satisface la relación, sustituí sus dos coordenadas: si la igualdad se cumple, está en la recta; si no, queda por fuera.