Relaciones y Álgebra
Razón, proporción, porcentaje y regla de tres
Al terminar vas a poder escribir y simplificar una razón, comprobar si dos razones forman una proporción, resolver problemas con regla de tres y con porcentajes, y reconocer cuándo dos cantidades son directamente proporcionales.
La razón: comparar dos cantidades dividiendo
Una razón es la comparación de dos cantidades por medio de una división. Se escribe 3 : 5 y se lee «tres es a cinco», y también se escribe como fracción, 3/5.
Si en un aula hay 12 niñas y 20 niños, la razón de niñas a niños es 12 : 20, que simplificada es 3 : 5. Eso quiere decir que por cada 3 niñas hay 5 niños.
Una razón se simplifica igual que una fracción: dividiendo los dos números entre un divisor común.
La proporción: dos razones iguales
Una proporción es una igualdad entre dos razones:
3/5 = 6/10
Para comprobar si dos razones forman proporción, se multiplica en cruz: si los dos productos coinciden, sí la forman.
- 3 × 10 = 30
- 5 × 6 = 30
- Coinciden, así que es una proporción.
Esa multiplicación en cruz es la herramienta que resuelve casi todo lo que sigue.
La regla de tres
La regla de tres sirve cuando conocés tres valores de una proporción y falta el cuarto.
Si 4 kilos de arroz cuestan ₡6 000, ¿cuánto cuestan 7 kilos?
Se arma la proporción poniendo las mismas magnitudes en los mismos lugares:
4 kg / 6 000 colones = 7 kg / x colones
Se multiplica en cruz: 4 × x = 6 000 × 7 = 42 000, así que x = 42 000 ÷ 4 = ₡10 500.
También se puede resolver por reducción a la unidad, que es más fácil de entender:
- Un kilo cuesta 6 000 ÷ 4 = ₡1 500.
- Siete kilos cuestan 1 500 × 7 = ₡10 500.
Los dos caminos dan lo mismo. Usá el que te salga más rápido.
Los porcentajes
Un porcentaje es una razón cuyo segundo término es 100. El 15 % significa «15 de cada 100», o sea la fracción 15/100 y el decimal 0,15.
Para calcular un porcentaje de una cantidad, se multiplica por el porcentaje y se divide entre 100.
15 % de ₡24 000 = (24 000 × 15) ÷ 100 = 360 000 ÷ 100 = ₡3 600
Atajos que sirven mucho en la cabeza:
| porcentaje | atajo |
|---|---|
| 10 % | dividir entre 10 |
| 50 % | la mitad |
| 25 % | la cuarta parte |
| 1 % | dividir entre 100 |
| 20 % | el 10 % por dos |
Para saber qué porcentaje es una cantidad de otra, se divide y se multiplica por 100. ¿Qué porcentaje es 18 de 60?
(18 ÷ 60) × 100 = 0,3 × 100 = 30 %
La proporcionalidad directa
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número: al doble, el doble; al triple, el triple.
| kilos de arroz | costo en colones | costo ÷ kilos |
|---|---|---|
| 1 | 1 500 | 1 500 |
| 2 | 3 000 | 1 500 |
| 4 | 6 000 | 1 500 |
| 7 | 10 500 | 1 500 |
La prueba está en la última columna: si el cociente entre las dos cantidades se mantiene constante, son directamente proporcionales. Ese valor fijo se llama constante de proporcionalidad, y acá es el precio por kilo.
Cuando dos cantidades son directamente proporcionales, sus puntos en el plano quedan sobre una recta que pasa por el origen. No todo par de cantidades que crecen juntas es proporcional: si un taxi cobra ₡700 de banderazo más ₡500 por kilómetro, el cociente no es constante (1 km cuesta 1 200 y 2 km cuestan 1 700, y 1 700 no es el doble de 1 200), así que no hay proporcionalidad directa.
Ejemplos resueltos
1. Simplificar una razón. En una finca hay 24 vacas y 36 terneros. ¿Cuál es la razón simplificada?
- 24 : 36, y los dos se dividen entre 12.
- 2 : 3: por cada 2 vacas hay 3 terneros.
2. Comprobar una proporción. ¿Forman proporción 8/12 y 10/15?
- 8 × 15 = 120 y 12 × 10 = 120.
- Sí, es una proporción.
3. Regla de tres. Si 3 buses llevan 135 pasajeros, ¿cuántos llevan 5 buses iguales?
- Por reducción a la unidad: 135 ÷ 3 = 45 pasajeros por bus.
- 45 × 5 = 225 pasajeros.
4. Porcentaje de una cantidad. Un abrigo cuesta ₡35 000 y tiene 20 % de descuento. ¿Cuánto se paga?
- Descuento: (35 000 × 20) ÷ 100 = ₡7 000.
- Precio final: 35 000 − 7 000 = ₡28 000.
5. Porcentaje que se agrega. Una cuenta de ₡50 000 lleva 13 % de impuesto. ¿Cuál es el total?
- Impuesto: (50 000 × 13) ÷ 100 = ₡6 500.
- Total: 50 000 + 6 500 = ₡56 500.
6. Qué porcentaje es. De 40 estudiantes, 16 prefieren el fútbol. ¿Qué porcentaje es?
- (16 ÷ 40) × 100 = 0,4 × 100 = 40 %.
7. ¿Hay proporcionalidad directa? Una llave llena 6 litros en 2 minutos, 12 litros en 4 minutos y 21 litros en 7 minutos. ¿Es proporcional?
- 6 ÷ 2 = 3; 12 ÷ 4 = 3; 21 ÷ 7 = 3.
- El cociente se mantiene, así que sí: la constante es 3 litros por minuto.
Los errores que más se cobran
- Armar la regla de tres cruzada. Se escribe 4 kg sobre 7 kg igual a 6 000 sobre x, pero después se multiplica mal y sale un precio menor para más kilos. Pasa por no comprobar el sentido. Si compro más, pago más: si el resultado baja, la proporción está mal armada.
- Restar el porcentaje como si fuera el precio. Se contesta ₡20 000 para el abrigo, restando 35 000 − 15 000. Pasa por confundir el número del porcentaje con una cantidad de dinero. El 20 % hay que calcularlo primero: son ₡7 000.
- Dividir entre el número equivocado al sacar un porcentaje. Se calcula 40 ÷ 16 en vez de 16 ÷ 40. Pasa por escribir los números en el orden en que aparecen. Arriba va la parte y abajo el total.
- Creer que todo lo que crece junto es proporcional. Se aplica regla de tres al taxi con banderazo. Pasa por ver que al aumentar los kilómetros aumenta el monto. Hay proporcionalidad solo si el cociente se mantiene constante y la recta pasa por el origen.
- Olvidar sumar o restar al final. Se calcula el 13 % de impuesto y se entrega ₡6 500 como respuesta. Pasa por dejar de leer la pregunta después de la cuenta. Preguntaban el total, así que hay que sumar.
- Simplificar la razón solo en un lado. Se escribe 24 : 36 como 2 : 36. Pasa por dividir un número y olvidar el otro. Los dos términos se dividen entre el mismo número.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: escribir razones, comprobar proporciones y usar la regla de tres.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Cómo se arma la regla de tres? → Cada magnitud en su fila, sin cruzar
- Si 4 kg cuestan ₡6000, ¿cuánto cuestan 7 kg? → ₡10 500
- ¿Qué es una proporción? → La igualdad de dos razones
Si se traba. Si arma la regla cruzada, hágale escribir arriba los kilos y abajo los colones, en las dos columnas.
Cinco minutos en la casa. Con un precio por kilo, que calcule el costo de otra cantidad.
Clave de análisis
Una razón compara dividiendo y se simplifica como una fracción. Dos razones forman proporción si los productos cruzados coinciden, y esa propiedad resuelve la regla de tres. Un porcentaje es una razón sobre 100: para calcularlo, multiplicá por el porcentaje y dividí entre 100; para saber qué porcentaje es una parte, dividí la parte entre el total y multiplicá por 100. Y hay proporcionalidad directa solo si el cociente entre las dos cantidades se mantiene constante.