Geometría
Simetría de figuras: reconocer, reproducir y trazar
Al terminar vas a poder reconocer si una figura tiene ejes de simetría y cuántos, reproducir la mitad que falta de una figura simétrica en una cuadrícula, trazar el simétrico de una figura respecto de un eje, y plantear vos mismo un problema de simetría.
Qué es un eje de simetría
Una figura es simétrica cuando existe una recta que la parte en dos mitades que calzan exactamente al doblar por esa recta. Esa recta se llama eje de simetría.
La prueba del papel funciona siempre: si doblás la figura por esa línea y las dos mitades se tapan sin sobresalir nada, hay simetría.
Lo que hace el eje es reflejar: cada punto de un lado tiene su pareja a la misma distancia, del otro lado, sobre la perpendicular al eje. Es lo mismo que pasa con un espejo.
Cuántos ejes tiene cada figura
| figura | ejes de simetría |
|---|---|
| cuadrado | 4 |
| rectángulo | 2 |
| triángulo equilátero | 3 |
| triángulo isósceles | 1 |
| triángulo escaleno | 0 |
| rombo | 2 |
| pentágono regular | 5 |
| hexágono regular | 6 |
| círculo | infinitos |
Hay un patrón: un polígono regular de n lados tiene n ejes de simetría. El círculo tiene infinitos, porque cualquier recta que pase por su centro lo parte en dos mitades iguales.
Ojo con el rectángulo: tiene 2 ejes, el vertical y el horizontal que pasan por el centro, pero sus diagonales no son ejes. Si doblás un rectángulo por la diagonal, las mitades no calzan. En el cuadrado sí, y por eso el cuadrado llega a 4.
Simetría en las letras y en el entorno
Muchas letras mayúsculas son simétricas:
- Con eje vertical: A, M, T, U, V, W, Y.
- Con eje horizontal: B, C, D, E, K.
- Con los dos: H, I, O, X.
- Sin ninguno: F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
Y en la vida: las alas de una mariposa, la cara de una persona, la fachada de una iglesia, un trébol, una hoja de árbol, la bandera de Costa Rica doblada por su franja central horizontal.
Reproducir y trazar en cuadrícula
Acá está el procedimiento que resuelve los ítems. Para trazar el simétrico de una figura respecto de un eje:
- Tomá cada vértice de la figura, uno por uno.
- Contá cuántos cuadritos hay desde ese vértice hasta el eje, en perpendicular.
- Contá los mismos cuadritos del otro lado del eje y marcá ahí el punto.
- Uní los puntos nuevos en el mismo orden que los originales.
Si un vértice está sobre el eje, su simétrico es él mismo: no se mueve.
En el plano de coordenadas se ve todavía más claro. Si el eje es la recta vertical que pasa por x = 5:
- El punto (3, 2) está a 2 unidades del eje, a la izquierda. Su simétrico está a 2 unidades a la derecha: (7, 2).
- El punto (1, 6) está a 4 unidades. Su simétrico es (9, 6).
- La coordenada y no cambia, porque el eje es vertical y el reflejo es horizontal.
Plantear un problema de simetría
Plantear es escribir vos el enunciado. La receta:
- Escogé una figura y un eje.
- Decidí qué se pregunta: cuántos ejes tiene, cuál es el simétrico de un punto, cómo se completa la mitad que falta.
- Resolvelo vos para comprobar que se puede y que los datos alcanzan.
Ejemplo de problema planteado: «El logotipo de la escuela es un hexágono regular. ¿Cuántos ejes de simetría tiene y cuánto mide el ángulo central entre dos vértices seguidos?» Solución: 6 ejes, y el ángulo central es 360 ÷ 6 = 60°.
Ejemplos resueltos
1. Contar ejes. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo de 8 cm por 5 cm?
- 2: la recta vertical y la horizontal que pasan por el centro. Las diagonales no sirven, porque al doblar por ellas las mitades no calzan.
2. Letras. ¿Cuáles de estas letras tienen eje de simetría vertical: A, F, M, S, W?
- A, M y W sí. La F y la S no tienen ningún eje.
3. Simétrico de un punto. El eje es la recta vertical que pasa por x = 4. ¿Cuál es el simétrico de (1, 5)?
- Distancia al eje: 4 − 1 = 3 unidades.
- Del otro lado: 4 + 3 = 7. El simétrico es (7, 5).
4. Con eje horizontal. El eje es la recta horizontal que pasa por y = 3. ¿Cuál es el simétrico de (6, 5)?
- Distancia al eje: 5 − 3 = 2 unidades, por encima del eje.
- Del otro lado, dos unidades por debajo: 3 − 2 = 1. El simétrico es (6, 1).
- La coordenada x no cambia, porque el eje es horizontal y el reflejo es vertical.
5. Reproducir la mitad que falta. En una cuadrícula está dibujada la mitad izquierda de un corazón y el eje vertical. ¿Cómo se completa?
- Se toma cada punto del contorno, se cuenta su distancia al eje y se marca el mismo punto del otro lado.
- Se unen los puntos nuevos en el mismo orden: queda la mitad derecha.
6. Un polígono regular. ¿Cuántos ejes tiene un octágono regular?
- Un polígono regular tiene tantos ejes como lados: 8.
7. Problema planteado. «Un mosaico es un cuadrado de 20 cm de lado con un círculo inscrito. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura completa?»
- El cuadrado tiene 4 ejes y el círculo tiene infinitos, pero la figura completa solo es simétrica por los ejes que sirven para las dos: los 4 ejes del cuadrado.
Los errores que más se cobran
- Contar las diagonales del rectángulo como ejes. Se contesta que el rectángulo tiene 4. Pasa porque en el cuadrado sí funcionan y las dos figuras se parecen. Al doblar un rectángulo por la diagonal, las mitades quedan cruzadas y no calzan.
- Medir la distancia en diagonal en vez de perpendicular al eje. Pasa por contar los cuadritos por el camino más corto visualmente. La distancia se cuenta perpendicular al eje, derechito.
- Mover la coordenada que no cambia. Con eje vertical se cambia también la y. Pasa por aplicar el reflejo a las dos coordenadas. Con eje vertical cambia solo la x; con eje horizontal, solo la y.
- Trasladar en vez de reflejar. Se copia la figura corrida al otro lado, con la misma orientación. Pasa por confundir simetría con traslación. En la simetría la figura queda volteada como en un espejo, no simplemente corrida.
- Unir los puntos nuevos en cualquier orden. La figura reflejada sale deformada. Pasa por marcar todos los puntos primero y después unirlos al tanteo. Se unen en el mismo orden que los originales.
- Creer que toda figura bonita es simétrica. Se dice que un triángulo escaleno tiene un eje. Pasa por confiar en el ojo. La prueba es doblar: si las mitades no calzan, no hay eje.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: reconocer ejes de simetría y trazar la figura simétrica.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Las diagonales del rectángulo son ejes de simetría? → No
- ¿Cuántos ejes tiene el rectángulo? → Dos
- ¿Y el cuadrado? → Cuatro
Si se traba. Si cuenta las diagonales, recorte un rectángulo y que lo doble por la diagonal: no coincide.
Cinco minutos en la casa. Recorten figuras de papel y que encuentre sus ejes doblando.
Clave de análisis
Una figura es simétrica si existe una recta por la que se puede doblar y las mitades calzan exactamente. Un polígono regular de n lados tiene n ejes, el rectángulo tiene 2 y el círculo infinitos. Para trazar el simétrico, contá para cada vértice los cuadritos hasta el eje en perpendicular y repetí esa cuenta del otro lado, uniendo después en el mismo orden. Con eje vertical cambia solo la x; con eje horizontal, solo la y.