Potencias de base diez y notación desarrollada
Al terminar vas a poder escribir 10, 100, 1 000 y sus compañeros como potencias de base diez, expresar múltiplos de 10 usando esas potencias, y escribir cualquier número natural en notación desarrollada con potencias de base diez.
La escalera de las potencias de diez
Nuestro sistema de numeración está armado sobre el 10, y por eso las potencias de base diez son las más útiles de todas.
| número | como potencia | ceros |
|---|---|---|
| 10 | 10¹ | 1 |
| 100 | 10² | 2 |
| 1 000 | 10³ | 3 |
| 10 000 | 10⁴ | 4 |
| 100 000 | 10⁵ | 5 |
| 1 000 000 | 10⁶ | 6 |
La regla salta a la vista: el exponente es la cantidad de ceros. Y no es casualidad: 10³ = 10 × 10 × 10, y cada 10 que se multiplica agrega un cero.
También vale el caso del exponente cero: 10⁰ = 1, siguiendo la escalera hacia abajo (1 000 ÷ 10 = 100, 100 ÷ 10 = 10, 10 ÷ 10 = 1).
Múltiplos de 10 escritos con potencias
Cualquier múltiplo de 10 se puede escribir como un número corto multiplicado por una potencia de diez. Se separa la parte que no es cero y se cuentan los ceros que quedan:
- 70 000 = 7 × 10 000 = 7 × 10⁴
- 3 200 = 32 × 100 = 32 × 10²
- 500 = 5 × 100 = 5 × 10²
- 9 000 000 = 9 × 1 000 000 = 9 × 10⁶
Esto sirve de verdad cuando los números son enormes. La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 150 000 000 de kilómetros, y escribirlo como 15 × 10⁷ km es más corto y más fácil de comparar.
La notación desarrollada con potencias
En quinto grado la notación desarrollada se escribía así:
4 508 = 4 000 + 500 + 0 + 8
Ahora se escribe igual, pero mostrando de dónde sale cada casilla:
4 508 = 4 × 10³ + 5 × 10² + 0 × 10¹ + 8 × 10⁰
Y como el sumando con 0 no aporta nada, se acostumbra dejarlo fuera:
4 508 = 4 × 10³ + 5 × 10² + 8
Esta escritura hace visible por qué el valor posicional funciona: cada cifra vale por sí misma multiplicada por la potencia de diez de su casilla.
| casilla | potencia | en 4 508 |
|---|---|---|
| unidades | 10⁰ = 1 | 8 × 1 = 8 |
| decenas | 10¹ = 10 | 0 × 10 = 0 |
| centenas | 10² = 100 | 5 × 100 = 500 |
| unidades de mil | 10³ = 1 000 | 4 × 1 000 = 4 000 |
El exponente de la casilla es la cantidad de cifras que hay a su derecha. En 4 508, el 4 tiene tres cifras a su derecha, así que le corresponde 10³.
Ejemplos resueltos
1. De número a potencia. Escribí 100 000 y 1 000 como potencias de base diez.
- 100 000 tiene cinco ceros: 10⁵.
- 1 000 tiene tres ceros: 10³.
2. Múltiplo de 10 con potencia. Escribí 460 000 usando una potencia de base diez.
- La parte que no es cero es 46, y quedan cuatro ceros.
- 46 × 10⁴.
3. Notación desarrollada. Escribí 27 305 en notación desarrollada con potencias de base diez.
- Cifras: 2 (decenas de mil), 7 (unidades de mil), 3 (centenas), 0 (decenas), 5 (unidades).
- 27 305 = 2 × 10⁴ + 7 × 10³ + 3 × 10² + 5.
- Comprobación: 20 000 + 7 000 + 300 + 5 = 27 305.
4. Del desarrollo al número. ¿Qué número es 6 × 10⁵ + 4 × 10³ + 9 × 10¹?
- 6 × 100 000 = 600 000.
- 4 × 1 000 = 4 000.
- 9 × 10 = 90.
- Suma: 600 000 + 4 000 + 90 = 604 090.
5. Comparar con potencias. ¿Cuál es mayor: 8 × 10⁴ o 5 × 10⁵?
- 8 × 10⁴ = 80 000 y 5 × 10⁵ = 500 000.
- 5 × 10⁵ es mayor, porque manda la potencia: una potencia más alta pesa más que un número de adelante más grande.
6. Una cantidad de la realidad. La población de Costa Rica anda cerca de los 5 000 000 de habitantes. Escribilo con potencia de base diez.
- 5 × 10⁶ habitantes.
Los errores que más se cobran
- Contar mal los ceros. Se escribe 10 000 como 10³. Pasa por contar los ceros de un vistazo. Conviene marcarlos con el lápiz uno por uno: 10 000 tiene cuatro, así que es 10⁴.
- Poner el exponente igual a la cantidad de cifras. Se escribe 1 000 como 10⁴ porque tiene cuatro cifras. Pasa por confundir cifras con ceros. El exponente cuenta los ceros, no todas las cifras.
- Olvidar la casilla vacía en el desarrollo. De 4 508 se escribe 4 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10¹. Pasa porque al no escribir el sumando del cero se corre la cuenta de las casillas. El 8 está en las unidades, así que le toca 10⁰.
- Sumar los exponentes al comparar. Se dice que 8 × 10⁴ es mayor que 5 × 10⁵ porque 8 es mayor que 5. Pasa por mirar primero el número de adelante. Manda la potencia: 10⁵ es diez veces 10⁴.
- Escribir 10⁰ como 0. Pasa por suponer que el exponente cero anula todo. La escalera de divisiones muestra que 10⁰ = 1, y por eso las unidades funcionan.
Clave de análisis
El exponente de una potencia de base diez es la cantidad de ceros. Para escribir un múltiplo de 10, separá la parte que no es cero y contá los ceros que quedan: esa cuenta es el exponente. Para la notación desarrollada, a cada cifra le toca la potencia cuyo exponente es la cantidad de cifras que tiene a su derecha, y las casillas con cero no se escriben pero sí se cuentan. Para comparar, mirá primero el exponente y solo después el número de adelante.