Potencias, cuadrados y cubos perfectos

Al terminar vas a poder escribir como potencia un producto de factores iguales y al revés, calcular potencias de base y exponente naturales, y reconocer si un número es cuadrado perfecto o cubo perfecto.

Escribir corto lo que se repite

Cuando un mismo factor se multiplica varias veces, escribirlo todo cansa:

2 × 2 × 2 × 2 × 2

Se escribe corto así: 2⁵, que se lee «dos elevado a la quinta» o «dos a la quinta potencia».

• El número de abajo, el 2, es la base: el factor que se repite.
• El número pequeño de arriba, el 5, es el exponente: cuántas veces aparece la base como factor.

El exponente no dice por cuánto se multiplica: dice cuántas veces se repite. Por eso 2⁵ no es 10, sino 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Cómo se calcula una potencia

Se multiplica de a poco, guardando el resultado parcial:

3⁴ → 3 × 3 = 9 → 9 × 3 = 27 → 27 × 3 = 81

Dos exponentes tienen nombre propio:

• El exponente 2 se lee «al cuadrado», porque 5² cuenta los cuadritos de un cuadrado de 5 por 5.
• El exponente 3 se lee «al cubo», porque 5³ cuenta los cubitos de un cubo de 5 por 5 por 5.

Y dos exponentes especiales:

• Exponente 1: la base aparece una sola vez, así que 9¹ = 9.
• Exponente 0: cualquier base distinta de cero elevada a 0 da 1. Por ejemplo, 7⁰ = 1. Se entiende mirando la escalera hacia abajo: 7³ = 343, 7² = 49, 7¹ = 7, y cada paso divide entre 7; el paso siguiente es 7 ÷ 7 = 1.

Cuadrados perfectos

Un número es cuadrado perfecto si es el resultado de multiplicar un natural por sí mismo. Los primeros son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144

que salen de 1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9², 10², 11² y 12².

Se llaman así porque con esa cantidad de cuadritos se puede armar un cuadrado exacto: con 36 fichas sale un cuadrado de 6 por 6; con 35 no sale ninguno.

Cubos perfectos

Un número es cubo perfecto si es el resultado de multiplicar un natural por sí mismo tres veces. Los primeros son:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000

que salen de 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³, 7³, 8³, 9³ y 10³.

Hay números que son las dos cosas. El 64 es cuadrado perfecto, porque 8 × 8 = 64, y también cubo perfecto, porque 4 × 4 × 4 = 64. El 1 también, y el 729, porque 27² = 729 y 9³ = 729.

Ejemplos resueltos

1. De producto a potencia. Escribí 6 × 6 × 6 × 6 como potencia y calculalo.

• La base es 6 y se repite 4 veces: 6⁴.
• 6 × 6 = 36; 36 × 6 = 216; 216 × 6 = 1 296.

2. De potencia a producto. Escribí 4³ como producto y calculalo.

• 4³ = 4 × 4 × 4.
• 4 × 4 = 16; 16 × 4 = 64.

3. Calcular varias. Hallá 2⁶, 3⁵ y 9².

• 2⁶: 2, 4, 8, 16, 32, 64.
• 3⁵: 3, 9, 27, 81, 243.
• 9²: 9 × 9 = 81.

4. ¿Cuadrado perfecto? ¿Lo son 121 y 150?

• 121: busco un natural que multiplicado por sí mismo dé 121. 11 × 11 = 121 → sí.
• 150: 12 × 12 = 144 y 13 × 13 = 169. El 150 queda en el medio, así que no es cuadrado perfecto.

5. ¿Cubo perfecto? ¿Lo es 216?

• 5 × 5 × 5 = 125 y 6 × 6 × 6 = 216 → sí, 216 = 6³.

6. Una situación. Una caja cúbica mide 4 cm de arista y se llena con cubitos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubitos caben?

• Caben 4 × 4 × 4 = 4³ = 64 cubitos.

Los errores que más se cobran

• Multiplicar la base por el exponente. Se contesta que 2⁵ es 10. Pasa porque los dos números están pegados y la multiplicación es la operación que primero viene a la mente. El exponente cuenta repeticiones, no es un factor: 2⁵ = 32.
• Multiplicar una vez de menos o de más. Se calcula 3⁴ como 3 × 3 × 3 = 27. Pasa por perder la cuenta al ir multiplicando. Conviene escribir el producto completo antes de calcular y contar los factores.
• Confundir al cuadrado con el doble y al cubo con el triple. Se contesta que 7² es 14. Pasa porque «al cuadrado» suena a duplicar. 7² = 7 × 7 = 49, y 7 × 2 = 14 es otra cosa.
• Creer que todo número par grande es cuadrado perfecto. Se dice que 150 lo es porque «se ve redondo». Pasa por adivinar en vez de probar. Hay que buscar el natural que multiplicado por sí mismo dé el número, y si se pasa de largo entre dos, no lo es.
• Confundir cuadrado perfecto con cubo perfecto. Se contesta que 27 es cuadrado perfecto. Pasa porque aparece en las dos listas del cuaderno. 27 es 3³, un cubo; el cuadrado más cercano es 25.

Clave de análisis

En una potencia, la base es el factor que se repite y el exponente dice cuántas veces se repite; nunca se multiplican entre sí. Calculá paso a paso, guardando el resultado parcial. Para saber si un número es cuadrado perfecto, buscá el natural que multiplicado por sí mismo lo dé; para cubo perfecto, el que multiplicado tres veces lo dé. Y tené a mano las dos listas: los cuadrados hasta 144 y los cubos hasta 1 000.