Números
Fracciones equivalentes: simplificar y amplificar
Al terminar vas a poder reconocer cuándo dos fracciones son equivalentes, simplificar una fracción hasta dejarla irreducible, y amplificarla para conseguir el denominador que necesités.
Dos fracciones que valen lo mismo
Media naranja se puede decir de muchas maneras: 1/2, 2/4, 3/6, 5/10. Todas representan la misma cantidad, aunque los números sean distintos. Se llaman fracciones equivalentes.
Lo que cambia es el tamaño de las piezas: en 1/2 la unidad se partió en dos y se tomó una; en 4/8 se partió en ocho y se tomaron cuatro. La cantidad tomada es igual.
Amplificar: hacer las piezas más pequeñas
Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número natural. La fracción que sale es equivalente a la original.
3/5 × 4 arriba y abajo = 12/20
Amplificar sirve sobre todo para conseguir el denominador que uno necesita, por ejemplo para sumar, restar o comparar fracciones heterogéneas.
¿Por qué no cambia el valor? Porque multiplicar arriba y abajo por 4 es lo mismo que multiplicar por 4/4, y 4/4 = 1. Multiplicar por 1 no cambia nada.
Simplificar: hacer las piezas más grandes
Simplificar es el camino inverso: dividir el numerador y el denominador entre un mismo divisor común.
18/24 ÷ 6 arriba y abajo = 3/4
Una fracción es irreducible cuando ya no se puede simplificar más, es decir, cuando el único divisor común del numerador y el denominador es el 1.
Hay dos maneras de simplificar:
De un solo golpe: buscar el mayor divisor común. Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18; los de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. El mayor común es 6, y 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4.
Por pasos: dividir varias veces entre divisores pequeños, hasta que no se pueda más.
36/48 → ÷2 → 18/24 → ÷2 → 9/12 → ÷3 → 3/4
Los dos caminos llegan al mismo lugar. El de pasos es más lento pero no exige buscar el mayor divisor, y las reglas de divisibilidad lo hacen rápido: si los dos números son pares, dividí entre 2; si los dos suman múltiplo de 3, dividí entre 3; si los dos terminan en 0 o 5, dividí entre 5.
Comprobar si dos fracciones son equivalentes
Hay una prueba que nunca falla: multiplicar en cruz. Dos fracciones son equivalentes si los dos productos cruzados dan lo mismo.
¿Son equivalentes 2/3 y 6/9?
- 2 × 9 = 18
- 3 × 6 = 18
- Dan igual, así que sí son equivalentes.
¿Y 3/5 y 5/8?
- 3 × 8 = 24
- 5 × 5 = 25
- No dan igual, así que no son equivalentes.
Ejemplos resueltos
1. Amplificar a un denominador pedido. Escribí 2/7 con denominador 35.
- 35 ÷ 7 = 5, así que multiplico arriba y abajo por 5.
- 2 × 5 = 10 y 7 × 5 = 35: queda 10/35.
2. Simplificar hasta irreducible. Simplificá 45/60.
- Los dos terminan en 0 o 5, así que divido entre 5: 9/12.
- Los dos suman múltiplo de 3 (9 y 1 + 2 = 3), así que divido entre 3: 3/4.
- 3 y 4 no tienen divisor común además del 1: es irreducible.
3. Comprobar equivalencia. ¿Son equivalentes 12/16 y 9/12?
- 12 × 12 = 144 y 16 × 9 = 144.
- Sí son equivalentes; las dos simplifican a 3/4.
4. Encontrar el numerador que falta. Completá: 4/9 es equivalente a algo sobre 63.
- 63 ÷ 9 = 7, así que multiplico arriba por 7: 4 × 7 = 28.
- Queda 28/63.
5. Simplificar un resultado de la vida. De una tanda de 48 empanadas se vendieron 36. ¿Qué fracción se vendió?
- 36/48. Divido entre 12: 3/4.
- Se vendieron tres cuartos de la tanda.
6. Poner dos fracciones con el mismo denominador. Escribí 2/3 y 3/4 con denominador común.
- El primer múltiplo común de 3 y 4 es 12.
- 2/3 amplificada por 4: 8/12. 3/4 amplificada por 3: 9/12.
Los errores que más se cobran
- Sumar o restar en vez de multiplicar o dividir. Se dice que 3/5 equivale a 5/7 porque «se le sumó 2 arriba y abajo». Pasa porque sumar lo mismo a los dos parece igual de justo. Solo multiplicar o dividir por el mismo número conserva el valor: 3/5 = 0,6 y 5/7 no llega a 0,72.
- Simplificar solo uno de los dos. Se escribe 18/24 = 3/24. Pasa por apuro, al dividir arriba y olvidar abajo. La operación va a los dos o la fracción cambia de valor.
- Dejar la fracción a medio simplificar. Se entrega 9/12 como respuesta final. Pasa por parar en el primer paso. Hay que seguir mientras quede un divisor común: 9/12 todavía se divide entre 3 y da 3/4.
- Amplificar por un número distinto arriba y abajo. Para pasar 2/7 a denominador 35 se escribe 4/35, porque se multiplicó arriba por 2. Pasa por no calcular el factor. El factor sale de dividir el denominador nuevo entre el viejo, y se usa el mismo arriba.
- Multiplicar en cruz y compararlo mal. Se calculan 2 × 9 y 6 × 3 y se concluye que no son equivalentes porque los productos están escritos al revés. Pasa por perder de vista qué se multiplica con qué. El numerador de una va con el denominador de la otra, siempre cruzado.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: reconocer, simplificar y amplificar fracciones equivalentes.
Tres preguntas para hacerle
- ¿3/5 equivale a 5/7 porque se suma 2 a cada uno? → No: se multiplica o se divide, no se suma
- ¿Cómo se amplifica 3/5? → Multiplicando los dos términos por el mismo número
- ¿6/10 simplificada? → 3/5
Si se traba. Si suma en vez de multiplicar, compruebe con la división: 3/5 da 0,6 y 5/7 no.
Cinco minutos en la casa. Que escriba tres fracciones equivalentes a una que usted le dé.
Clave de análisis
Amplificar es multiplicar arriba y abajo por el mismo número; simplificar es dividir arriba y abajo entre el mismo número. Las dos cosas dan una fracción equivalente porque equivalen a multiplicar por 1. Simplificá hasta que el único divisor común sea 1. Para amplificar a un denominador pedido, dividí el nuevo entre el viejo y usá ese factor arriba también. Y para comprobar equivalencia, multiplicá en cruz: si los productos coinciden, son equivalentes.