Divisibilidad, factores, primos y compuestos

Al terminar vas a poder usar con precisión las palabras divisible, divisor, factor y múltiplo, encontrar todos los divisores de un número, y decidir si un número es primo o compuesto con un método que no falla.

Cuatro palabras que dicen casi lo mismo

Estas cuatro palabras describen la misma relación entre dos números, vista desde distintos ángulos. Tomemos 18 y 3:

• 18 es divisible entre 3, porque la división da residuo cero.
• 3 es divisor de 18, porque cabe en 18 una cantidad exacta de veces.
• 3 es factor de 18, porque 3 × 6 = 18: aparece en una multiplicación que da 18.
• 18 es múltiplo de 3, porque se obtiene multiplicando 3 por un natural.

Divisor y factor son prácticamente sinónimos: la palabra divisor se usa cuando pensamos en repartir y la palabra factor cuando pensamos en multiplicar. Múltiplo es la relación al revés: el grande visto desde el pequeño.

Todos los divisores, sin perder ninguno

Para encontrar todos los divisores de un número, se busca de a parejas, probando desde el 1 hacia arriba y anotando el compañero de cada uno.

Divisores de 18:

Al llegar al 4 ya nos pasamos del punto donde las parejas se cruzan (3 y 6 están casi juntos), así que la lista está completa: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Las reglas de divisibilidad que aprendiste en quinto ahorran mucho trabajo acá: si el número termina en 0, 2, 4, 6 u 8 hay que probar el 2; si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, hay que probar el 3; si termina en 0 o 5, el 5; si termina en 0, el 10.

Primos y compuestos

Ahora contamos cuántos divisores tiene cada número:

• Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
• Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
• El 1 no es ni primo ni compuesto, porque tiene un solo divisor: él mismo.

Los primos hasta el 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Fijate en el 2: es el único primo par. Cualquier otro número par tiene al 2 como divisor además del 1 y de sí mismo, así que ya son tres divisores y deja de ser primo.

Cómo se decide si un número es primo

El método es corto: probar a dividirlo entre los primos pequeños, en orden, hasta que la pareja se cruce.

Para números menores que 120 alcanza con probar 2, 3, 5 y 7. Si ninguno divide, el número es primo.

¿Por qué solo esos? Porque si un número tiene un divisor, tiene una pareja: uno de los dos es el pequeño. Y si el pequeño fuera 11 o más, la pareja sería 11 o más también, y 11 × 11 = 121, que ya se pasa de 120.

Probemos con 51: no es par; la suma de sus cifras es 5 + 1 = 6, que es múltiplo de 3, así que 3 lo divide: 51 ÷ 3 = 17. Entonces 51 es compuesto, y 51 = 3 × 17.

Probemos con 91: no es par, 9 + 1 = 10 no es múltiplo de 3, no termina en 0 ni 5. Falta el 7: 91 ÷ 7 = 13, exacto. Entonces 91 es compuesto: 91 = 7 × 13.

Probemos con 83: no es par; 8 + 3 = 11 no es múltiplo de 3; no termina en 0 ni 5; 83 ÷ 7 = 11 y sobra 6. Ninguno divide, así que 83 es primo.

Descomponer en factores primos

Todo número compuesto se puede escribir como una multiplicación de números primos, y esa escritura es única. Se va dividiendo entre los primos más pequeños que quepan:

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Entonces 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Esos son sus factores primos.

Ejemplos resueltos

1. Las cuatro palabras. Completá con 7 y 42.

• 42 es divisible entre 7, porque 42 ÷ 7 = 6.
• 7 es divisor de 42 y también factor de 42.
• 42 es múltiplo de 7.

2. Todos los divisores de 45.

• 1 × 45, 3 × 15, 5 × 9. El 2 no divide (45 es impar), el 4 tampoco, el 6 tampoco, el 7 tampoco, el 8 tampoco.
• Divisores: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Son seis, así que 45 es compuesto.

3. ¿Es primo el 97?

• No es par. 9 + 7 = 16, no es múltiplo de 3. No termina en 0 ni 5. 97 ÷ 7 = 13 y sobra 6.
• Ninguno de los primos pequeños lo divide: 97 es primo.

4. Descomponer 84 en factores primos.

• 84 ÷ 2 = 42; 42 ÷ 2 = 21; 21 ÷ 3 = 7; 7 ÷ 7 = 1.
• 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
• Comprobación: 2 × 2 = 4; 4 × 3 = 12; 12 × 7 = 84.

5. Un problema de la vida. Doña Emilia tiene 36 empanadas y quiere acomodarlas en bandejas con la misma cantidad en cada una, sin que sobre ninguna. ¿Cuántas bandejas puede usar?

• Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
• Puede usar cualquiera de esas nueve cantidades de bandejas.

Los errores que más se cobran

• Decir que el 1 es primo. Pasa porque el 1 «solo se divide entre 1 y entre sí mismo», que parece la definición. Pero en el 1 esos dos son el mismo número, así que tiene un divisor y no dos. Por eso no es primo ni compuesto.
• Decir que el 2 no es primo por ser par. Pasa porque casi todos los primos son impares y la idea se generaliza mal. El 2 tiene exactamente dos divisores, 1 y 2, así que es primo; lo raro es que sea par, no que sea primo.
• Declarar primo un número sin probar el 7. Se dice que 91 es primo porque no es par, no suma múltiplo de 3 y no termina en 0 ni 5. Pasa por saltarse el último primo de la lista. 91 = 7 × 13.
• Confundir factor con múltiplo. Se contesta que los factores de 7 son 7, 14, 21, 28. Pasa porque las dos palabras aparecen en el mismo tema. Los factores son más pequeños o iguales que el número; los múltiplos, más grandes o iguales.
• Parar la descomposición antes de llegar al 1. Se escribe 84 = 2 × 42 y se entrega. Pasa por creer que basta con partir una vez. Hay que seguir hasta que todos los factores sean primos.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: usar divisible, divisor, factor y múltiplo, y hallar primos.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿El 1 es primo? → No: tiene un solo divisor
2. ¿Cuántos divisores tiene un primo? → Exactamente dos
3. ¿El 2 es primo? → Sí, y es el único primo par

Si se traba. Si dice que el 1 es primo, cuéntele la definición: exactamente dos divisores distintos.

Cinco minutos en la casa. Dele diez números y que separe primos de compuestos.

Clave de análisis

Divisible, divisor, factor y múltiplo describen una misma división exacta: el pequeño es divisor y factor, el grande es múltiplo. Para listar divisores, buscá de a parejas desde el 1. Para decidir si un número menor que 120 es primo, probá solo 2, 3, 5 y 7 usando las reglas de divisibilidad: si ninguno lo divide, es primo. Y acordate de los dos casos raros: el 1 no es primo ni compuesto, y el 2 es el único primo par.