Sumar y restar fracciones, y combinar operaciones
Al terminar vas a poder sumar y restar fracciones con igual y con distinto denominador, resolver cadenas de operaciones con naturales y decimales respetando la jerarquía, y resolver problemas que mezclan fracciones y decimales.
Sumar y restar fracciones homogéneas
Si las fracciones tienen el mismo denominador, las piezas son del mismo tamaño y solo hay que contarlas: se suman o se restan los numeradores y el denominador no se toca.
3/8 + 2/8 = 5/8
7/9 − 4/9 = 3/9 = 1/3 (simplificado)
El denominador no se suma porque no cuenta cantidad: dice de qué tamaño es cada pieza. Tres octavos más dos octavos son cinco octavos, no cinco dieciseisavos.
Sumar y restar fracciones heterogéneas
Si los denominadores son distintos, las piezas no miden lo mismo y no se pueden contar juntas. Hay que amplificar las fracciones hasta que tengan el mismo denominador.
Para 2/3 + 1/4:
- Busco un múltiplo común de 3 y 4. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12. Múltiplos de 4: 4, 8, 12. El común es 12.
- Amplifico cada una: 2/3 = 8/12 (por 4) y 1/4 = 3/12 (por 3).
- Sumo los numeradores: 8/12 + 3/12 = 11/12.
Para 5/6 − 1/4:
- Múltiplo común de 6 y 4: 12.
- 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12.
- 10/12 − 3/12 = 7/12.
Con números mixtos
Se convierten a fracción impropia y se procede igual.
1 1/2 + 2 3/4:
- 1 1/2 = 3/2 y 2 3/4 = 11/4.
- Denominador común 4: 3/2 = 6/4.
- 6/4 + 11/4 = 17/4, que en notación mixta es 4 1/4.
La cadena de operaciones con decimales
Con naturales y decimales, el orden es el mismo de siempre: primero los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último las sumas y restas de izquierda a derecha.
12,5 + 3 × 2,4 − 8 ÷ 4
- Multiplicación: 3 × 2,4 = 7,2.
- División: 8 ÷ 4 = 2.
- Queda 12,5 + 7,2 − 2 = 19,7 − 2 = 17,7.
Con decimales hay que cuidar la coma: al sumar y restar se alinean las comas; al multiplicar, el resultado lleva tantas cifras decimales como tengan los factores entre los dos.
Ejemplos resueltos
1. Homogéneas. Calculá 5/12 + 4/12 y 9/10 − 3/10.
- 5/12 + 4/12 = 9/12 = 3/4.
- 9/10 − 3/10 = 6/10 = 3/5.
2. Heterogéneas. Calculá 3/5 + 1/2.
- Múltiplo común de 5 y 2: 10.
- 3/5 = 6/10 y 1/2 = 5/10.
- 6/10 + 5/10 = 11/10, o sea 1 1/10.
3. Resta heterogénea con simplificación. Calculá 7/8 − 1/6.
- Múltiplo común de 8 y 6: 24.
- 7/8 = 21/24 y 1/6 = 4/24.
- 21/24 − 4/24 = 17/24, que ya es irreducible.
4. Cadena con decimales. Resolvé (6,4 − 2,4) × 5 + 10 ÷ 4.
- Paréntesis: 6,4 − 2,4 = 4.
- Multiplicación y división: 4 × 5 = 20 y 10 ÷ 4 = 2,5.
- Suma: 20 + 2,5 = 22,5.
5. Problema con fracciones. Alonso tenía ₡15 000. Gastó 2/5 en el almuerzo y después un tercio de lo que le quedaba en el bus. ¿Cuánto le queda?
- Almuerzo: 2/5 de 15 000 = (15 000 ÷ 5) × 2 = 3 000 × 2 = ₡6 000.
- Le quedan: 15 000 − 6 000 = ₡9 000.
- Bus: 1/3 de 9 000 = ₡3 000.
- Le quedan: 9 000 − 3 000 = ₡6 000.
6. Problema con fracciones y decimales. Una receta pide 1/2 kg de harina y 0,75 kg de azúcar. ¿Cuánto pesan juntos?
- 1/2 kg = 0,5 kg.
- 0,5 + 0,75 = 1,25 kg.
- En fracción: 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4 kg, que es 1,25 kg. Coincide.
7. Problema con división de fracciones. Un tanque tiene 3/4 de su capacidad lleno, que son 60 litros. ¿Cuál es la capacidad total?
- Si 3/4 son 60 litros, un cuarto es 60 ÷ 3 = 20 litros.
- La capacidad total son cuatro cuartos: 20 × 4 = 80 litros.
Los errores que más se cobran
- Sumar los denominadores. Se contesta 3/8 + 2/8 = 5/16. Pasa porque el procedimiento de la multiplicación (arriba con arriba, abajo con abajo) se traslada a la suma. En la suma el denominador se queda: dice el tamaño de la pieza, no la cantidad.
- Sumar heterogéneas de frente. Se contesta 2/3 + 1/4 = 3/7. Pasa por no ver que las piezas son de distinto tamaño. Antes de sumar hay que amplificar a un denominador común.
- Amplificar solo el numerador o solo el denominador. Se escribe 2/3 = 8/3 al pasar a doceavos. Pasa por apuro. El factor se aplica arriba y abajo.
- Resolver la cadena de izquierda a derecha. En 12,5 + 3 × 2,4 se hace primero 12,5 + 3. Pasa porque se lee así. Primero paréntesis, después × y ÷, y de último + y −.
- Tomar la fracción del número equivocado. En el problema de Alonso se calcula 1/3 de los ₡15 000 originales. Pasa por no leer que el tercio era «de lo que le quedaba». Cada fracción se toma del total que indica el enunciado en ese momento.
- Perder la coma al mezclar fracciones y decimales. Se suma 1/2 + 0,75 y se contesta 0,125. Pasa por juntar los números sin convertirlos. Primero se pasa todo a la misma forma —todo decimal o todo fracción— y después se opera.
Clave de análisis
Con el mismo denominador, sumá o restá los numeradores y dejá el denominador quieto. Con denominadores distintos, buscá un múltiplo común, amplificá las dos fracciones arriba y abajo, y recién ahí operá. En una cadena, respetá paréntesis, después × y ÷, y por último + y −. Y en los problemas, poné todas las cantidades en la misma forma y fijate siempre de qué total se está tomando cada fracción.