Multiplicar y dividir fracciones, e inverso multiplicativo
Al terminar vas a poder multiplicar y dividir fracciones simplificando el resultado, encontrar el inverso multiplicativo de un natural o de una fracción, y resolver problemas donde hay que tomar una parte de otra parte o repartir en pedazos fraccionarios.
Multiplicar fracciones es lo más fácil de todo
Para multiplicar dos fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Nada más. No hay que buscar denominador común.
2/3 × 4/5 = (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15
¿Por qué funciona? Porque multiplicar por 2/3 quiere decir «tomar dos tercios de». Tomar 2/3 de 4/5 significa partir los 4/5 en tres partes y llevarse dos. Al partir quintos en tres, salen quinceavos.
Siempre simplificá el resultado, o mejor todavía, simplificá antes de multiplicar:
3/4 × 8/9: el 3 y el 9 se dividen entre 3, y el 4 y el 8 se dividen entre 4. Queda 1/1 × 2/3 = 2/3.
Si lo hacés sin simplificar antes: 3 × 8 = 24 y 4 × 9 = 36, o sea 24/36, que también da 2/3. Mismo resultado, más trabajo.
Para multiplicar un natural por una fracción, el natural se escribe con denominador 1:
5 × 2/3 = 5/1 × 2/3 = 10/3, que en notación mixta es 3 1/3.
El inverso multiplicativo
El inverso multiplicativo de un número es el que, multiplicado por él, da 1.
- El inverso de 3/4 es 4/3, porque 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1.
- El inverso de 5 es 1/5, porque 5/1 × 1/5 = 5/5 = 1.
- El inverso de 1 es 1.
- El cero no tiene inverso, porque cualquier cosa multiplicada por 0 da 0 y nunca 1.
Para hallarlo, se voltea la fracción: el numerador pasa abajo y el denominador arriba. También se le dice recíproco.
Dividir fracciones: multiplicar por el inverso
Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su inverso.
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
¿Por qué? Porque dividir entre 4/5 es preguntar «cuántos pedazos de 4/5 caben». Y multiplicar por 5/4 es la forma exacta de contestar eso. Se ve claro con un caso sencillo: 5 ÷ 1/2 pregunta cuántos medios caben en 5, y caben 10; y en efecto, 5 × 2/1 = 10.
El procedimiento en tres pasos:
- Dejá la primera fracción igual.
- Cambiá el signo ÷ por ×.
- Volteá la segunda fracción.
Y después simplificá.
Ejemplos resueltos
1. Multiplicar y simplificar. Calculá 3/8 × 4/9.
- Simplifico antes: 3 y 9 entre 3 → 1 y 3; 4 y 8 entre 4 → 1 y 2.
- Queda 1/2 × 1/3 = 1/6.
- Comprobación sin simplificar antes: (3 × 4)/(8 × 9) = 12/72 = 1/6.
2. Parte de una parte. La receta de doña Ana pide 3/4 de taza de harina, pero Karla va a hacer solo 2/3 de la receta. ¿Cuánta harina usa?
- 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 taza.
3. Dividir fracciones. Calculá 5/6 ÷ 2/3.
- Volteo la segunda: 5/6 × 3/2.
- Simplifico: 6 y 3 entre 3 → 2 y 1.
- Queda 5/2 × 1/2 = 5/4, o sea 1 1/4.
4. Cuántos caben. Don Beto tiene 6 metros de cinta y corta pedazos de 3/4 de metro. ¿Cuántos pedazos saca?
- 6 ÷ 3/4 = 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8 pedazos.
- Comprobación: 8 × 3/4 = 24/4 = 6 metros.
5. Inversos. Escribí el inverso multiplicativo de 7, de 2/9 y de 1/4.
- De 7: 1/7, porque 7 × 1/7 = 1.
- De 2/9: 9/2, porque 2/9 × 9/2 = 18/18 = 1.
- De 1/4: 4, porque 1/4 × 4 = 4/4 = 1.
6. Multiplicar natural por fracción. Un saco tiene 2/5 de quintal y hay 15 sacos. ¿Cuántos quintales son?
- 15 × 2/5 = 30/5 = 6 quintales.
Los errores que más se cobran
- Buscar denominador común para multiplicar. Se convierten 2/3 y 4/5 a quinceavos antes de multiplicar. Pasa porque para sumar sí hace falta y la mano repite el procedimiento. Multiplicar es de frente: arriba con arriba y abajo con abajo.
- Voltear la primera fracción en vez de la segunda. Se calcula 2/3 ÷ 4/5 como 3/2 × 4/5. Pasa por recordar que «algo se voltea» sin recordar qué. Se voltea la que divide, la de la derecha.
- Multiplicar en cruz al dividir. Se calcula (2 × 5)/(3 × 4) sin cambiar el signo, o se escribe la respuesta al revés. Pasa por mezclar la prueba de fracciones equivalentes con la división. El procedimiento es: la primera igual, por, la segunda volteada.
- Creer que multiplicar siempre agranda. Se dice que 3/4 × 2/3 tiene que ser mayor que 3/4. Pasa por la costumbre de los naturales. Multiplicar por una fracción menor que uno achica, porque se está tomando una parte: 1/2 es menos que 3/4.
- Decir que el inverso de 5 es −5. Pasa por confundir «inverso multiplicativo» con «opuesto». El inverso multiplicativo da 1 al multiplicar, no cero al sumar: el de 5 es 1/5.
- Dejar el resultado sin simplificar. Se entrega 6/12 en vez de 1/2. Pasa por dar la cuenta por terminada al llegar al producto. La respuesta va siempre irreducible.
Clave de análisis
Multiplicar fracciones es arriba por arriba y abajo por abajo, simplificando antes si se puede. El inverso multiplicativo de una fracción es la misma fracción volteada, y multiplicados dan 1. Dividir es multiplicar por el inverso de la segunda: primera igual, signo por, segunda volteada. Y si el factor es menor que uno, esperá un resultado más pequeño; si dividís entre algo menor que uno, esperá uno más grande.