Geometría
Repaso de áreas y las circunferencias del entorno
Al terminar vas a poder resolver problemas de perímetro y área de triángulos, cuadrados, rectángulos, paralelogramos, trapecios y figuras compuestas, y reconocer circunferencias en dibujos y en objetos de todos los días, distinguiéndolas del círculo.
Las fórmulas que ya tenés
| figura | perímetro | área |
|---|---|---|
| cuadrado de lado l | 4 × l | l × l |
| rectángulo de base b y altura h | 2 × (b + h) | b × h |
| triángulo de lados a, b, c | a + b + c | (base × altura) ÷ 2 |
| paralelogramo de lados a y b | 2 × (a + b) | base × altura |
| trapecio de lados a, b, c, d | a + b + c + d | (B + b) × h ÷ 2 |
Dos recordatorios que deciden la mitad de los ítems:
- La altura es perpendicular a la base. El lado inclinado no sirve como altura.
- El perímetro se mide en m o cm; el área, en m² o cm². Si la unidad no calza con lo que pedían, hay error.
En una figura compuesta, el área se obtiene sumando las partes o restando lo que falta, pero el perímetro nunca se suma por partes: se recorre el borde real, porque las líneas auxiliares que trazaste no existen en el contorno.
La circunferencia y el círculo
La circunferencia es la línea; el círculo es la región de adentro.
Una circunferencia es la línea curva cerrada formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Esa distancia es el radio.
El círculo es la circunferencia más toda la superficie que encierra.
Por eso, cuando hablamos de cuánto mide el borde de una tapa, hablamos de la circunferencia; cuando hablamos de cuánta lámina tiene la tapa, hablamos del área del círculo.
Dónde hay circunferencias
Una vez que se aprende a verlas, aparecen por todos lados:
- La tapa de una olla, el borde de un vaso, el fondo de una lata.
- Una moneda de ₡100 o de ₡500.
- La llanta de una bicicleta y el aro de la cancha de baloncesto.
- El reloj de pared y sus manecillas girando.
- Las ondas que se forman al tirar una piedra en un charco.
- La rueda del molino, el disco compacto, el plato, la boca del embudo.
Lo que tienen en común todas: hay un centro y todos los puntos del borde están a la misma distancia de él. Esa es la prueba. Un óvalo no es circunferencia, porque su borde no está siempre a la misma distancia del centro.
Ejemplos resueltos
1. Cercar y sembrar. Un terreno rectangular mide 32 m por 18 m. Hay que cercarlo con malla a ₡2 800 el metro y sembrar zacate a ₡1 500 el metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
- Perímetro: 2 × (32 + 18) = 2 × 50 = 100 m. Malla: 100 × 2 800 = ₡280 000.
- Área: 32 × 18 = 576 m². Zacate: 576 × 1 500 = ₡864 000.
2. Un triángulo. Un rótulo triangular tiene base 1,4 m y altura 0,9 m. ¿Cuál es su área?
- (1,4 × 0,9) ÷ 2 = 1,26 ÷ 2 = 0,63 m².
3. Un trapecio. Un terreno en forma de trapecio tiene bases de 24 m y 16 m y altura 10 m. ¿Cuál es su área?
- (24 + 16) × 10 ÷ 2 = 40 × 10 ÷ 2 = 400 ÷ 2 = 200 m².
4. Figura compuesta. Un patio está formado por un rectángulo de 12 m por 8 m con un cuadrado de 4 m de lado recortado en una esquina. Calculá el área y el perímetro.
- Área: 12 × 8 − 4 × 4 = 96 − 16 = 80 m².
- Perímetro, recorriendo el borde: 12 + 8 + 8 + 4 + 4 + 4 = 40 m.
5. Del área al lado. Un paralelogramo tiene área 72 cm² y base 12 cm. ¿Cuál es su altura?
- 72 = 12 × h, así que h = 72 ÷ 12 = 6 cm.
6. Circunferencia o círculo. ¿Qué se necesita para poner un ribete alrededor de un mantel redondo y qué para saber cuánta tela tiene?
- El ribete rodea el borde: es la circunferencia.
- La tela cubre toda la superficie: es el área del círculo.
7. Reconocer. ¿Cuál de estos objetos tiene forma de circunferencia: una moneda, un huevo visto de frente, el aro de baloncesto?
- La moneda y el aro sí, porque todos los puntos del borde están a igual distancia del centro.
- El huevo no: su contorno es ovalado y las distancias al centro no son iguales.
Los errores que más se cobran
- Usar el lado inclinado como altura. En el paralelogramo o el trapecio se multiplica por el lado que se ve en el dibujo. Pasa porque la altura suele ir punteada y el lado es una línea firme. La altura es la distancia perpendicular entre las bases.
- Sumar los perímetros de las partes en una figura compuesta. Pasa porque para el área sí se suman las partes y la mano repite. El perímetro se recorre por el borde real, sin las líneas auxiliares.
- Contestar con la unidad equivocada. Se escribe que el área es 576 m o el perímetro 100 m². Pasa por copiar la unidad del enunciado. Área siempre en unidades cuadradas.
- Usar la palabra círculo para el borde. Se dice «el círculo de la tapa mide 30 cm» hablando del contorno. Pasa porque en el habla diaria las dos palabras se mezclan. La línea es la circunferencia; la superficie es el círculo.
- Llamar circunferencia a cualquier curva cerrada. Se dice que un óvalo es una circunferencia. Pasa por mirar solo que sea redondeado. La prueba es que todos los puntos del borde estén a la misma distancia del centro.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: resolver problemas de perímetro y área de varias figuras.
Tres preguntas para hacerle
- En el paralelogramo, ¿se usa el lado inclinado como altura? → No: la altura es la perpendicular
- ¿Cómo se calcula el área del trapecio? → Bases sumadas por altura entre dos
- ¿Y la del triángulo? → Base por altura entre dos
Si se traba. Si usa el lado inclinado, trace con él la altura con escuadra y márquela.
Cinco minutos en la casa. Dibuje un paralelogramo y que marque la altura antes de calcular.
Clave de análisis
Decidí primero si se rodea o se cubre: rodear es perímetro (metros) y cubrir es área (metros cuadrados). Buscá la base y la altura perpendicular antes de aplicar cualquier fórmula. En figuras compuestas, sumá o restá áreas, pero recorré el borde para el perímetro. Y para las figuras redondas, acordate: la circunferencia es la línea y el círculo es la superficie que encierra.