Geometría
Polígonos regulares: elementos, trazado e inscripción
Al terminar vas a poder nombrar los elementos de un polígono regular, trazar uno con regla, compás y transportador repartiendo los 360° de la circunferencia, e identificar el radio, la apotema y los ángulos centrales de un polígono inscrito.
Qué es un polígono regular
Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectos. Es regular cuando cumple dos condiciones a la vez:
- Todos sus lados miden lo mismo.
- Todos sus ángulos miden lo mismo.
Si le falta una de las dos, no es regular. Un rombo tiene los cuatro lados iguales pero los ángulos distintos: no es regular. Un rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales pero los lados distintos: tampoco.
| lados | nombre |
|---|---|
| 3 | triángulo equilátero |
| 4 | cuadrado |
| 5 | pentágono regular |
| 6 | hexágono regular |
| 8 | octágono regular |
Los elementos
| elemento | qué es |
|---|---|
| lado | cada uno de los segmentos que forman el contorno |
| vértice | el punto donde se juntan dos lados |
| centro | el punto que está a la misma distancia de todos los vértices |
| radio | el segmento del centro a un vértice |
| apotema | el segmento del centro al punto medio de un lado, perpendicular a ese lado |
| ángulo central | el ángulo entre dos radios consecutivos |
| diagonal | el segmento que une dos vértices no consecutivos |
El radio siempre es más largo que la apotema, porque el vértice está más lejos del centro que el punto medio del lado.
La medida del ángulo central
Los radios reparten el giro completo alrededor del centro, y ese giro mide 360°. Entonces:
ángulo central = 360° ÷ número de lados
| polígono | cuenta | ángulo central |
|---|---|---|
| triángulo equilátero | 360 ÷ 3 | 120° |
| cuadrado | 360 ÷ 4 | 90° |
| pentágono regular | 360 ÷ 5 | 72° |
| hexágono regular | 360 ÷ 6 | 60° |
| octágono regular | 360 ÷ 8 | 45° |
Trazar un polígono regular
Todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia, es decir, dibujar con todos sus vértices sobre ella. Eso da el método de trazado, y es siempre el mismo:
- Con el compás, trazá una circunferencia del radio que querás y marcá el centro.
- Calculá el ángulo central: 360° entre la cantidad de lados.
- Con el transportador, colocá el centro del transportador en el centro de la circunferencia y marcá los ángulos, uno tras otro, girando siempre en el mismo sentido.
- Con la regla, uní los puntos marcados sobre la circunferencia, en orden.
Para un pentágono regular: 360 ÷ 5 = 72°. Se marcan puntos a 0°, 72°, 144°, 216° y 288°, y se unen. Comprobación: 72 × 5 = 360, así que el último punto vuelve al primero.
El hexágono regular tiene un atajo lindo: como su ángulo central es de 60°, su lado mide exactamente lo mismo que el radio. Basta con abrir el compás al radio e ir marcando el borde de la circunferencia seis veces seguidas.
El polígono inscrito
Cuando el polígono está inscrito en una circunferencia:
- Los vértices del polígono están sobre la circunferencia.
- El radio del polígono es el mismo radio de la circunferencia.
- La apotema es más corta que el radio y llega al punto medio de cada lado.
- Los ángulos centrales reparten los 360° en partes iguales, una por lado.
Los radios parten el polígono en tantos triángulos iguales como lados tenga: el hexágono en 6, el pentágono en 5. En el hexágono esos triángulos son equiláteros, porque sus tres ángulos miden 60°.
Ejemplos resueltos
1. ¿Es regular? ¿Es regular un rombo de lado 5 cm con ángulos de 60° y 120°?
- Los lados sí son iguales, pero los ángulos no: no es regular.
2. Ángulo central. ¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono regular, que tiene 10 lados?
- 360 ÷ 10 = 36°.
3. Cuántos lados. Un polígono regular tiene ángulos centrales de 45°. ¿Cuántos lados tiene?
- 360 ÷ 45 = 8 lados: es un octágono regular.
4. Trazar un octágono. ¿Qué ángulos hay que marcar?
- 360 ÷ 8 = 45°.
- Se marcan puntos a 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 315°, y se unen en orden.
5. El hexágono y el radio. Si trazás una circunferencia de 4 cm de radio y le inscribís un hexágono regular, ¿cuánto mide cada lado y cuánto el perímetro?
- El lado del hexágono regular es igual al radio: 4 cm.
- Perímetro: 6 × 4 = 24 cm.
6. Radio o apotema. En un hexágono regular, el segmento del centro a un vértice mide 6 cm y el segmento del centro al punto medio de un lado mide 5,2 cm. ¿Cuál es cuál?
- El de 6 cm es el radio, porque llega a un vértice.
- El de 5,2 cm es la apotema, porque llega al punto medio de un lado y es más corta.
7. Los triángulos de adentro. ¿En cuántos triángulos parten los radios a un pentágono regular?
- En 5, uno por cada lado, todos iguales, con ángulo central de 72° cada uno.
Los errores que más se cobran
- Llamar regular a una figura con solo una de las dos condiciones. Se dice que el rectángulo es regular porque tiene cuatro ángulos rectos. Pasa por quedarse con la mitad de la definición. Tienen que ser iguales los lados y los ángulos.
- Confundir radio con apotema. Se usa la apotema como si llegara al vértice. Pasa porque las dos salen del centro. El radio llega al vértice; la apotema llega al punto medio de un lado y forma ángulo recto con él.
- Dividir 180 en vez de 360 para el ángulo central. Pasa por recordar la suma de los ángulos de un triángulo. Alrededor del centro hay un giro completo, que son 360°.
- Marcar los ángulos desde puntos distintos. Al trazar, se corre el transportador y los vértices quedan disparejos. Pasa por levantar el instrumento entre marca y marca. El transportador se deja con su centro fijo en el centro de la circunferencia y se giran solo las marcas.
- Creer que el lado siempre es igual al radio. Se aplica el atajo del hexágono a un pentágono. Pasa por generalizar un caso particular. Solo en el hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: nombrar los elementos de un polígono regular y trazarlo.
Tres preguntas para hacerle
- ¿El rectángulo es regular? → No: sus lados no son todos iguales
- ¿Qué necesita un polígono regular? → Lados y ángulos iguales
- ¿Qué es la apotema? → Del centro al punto medio de un lado
Si se traba. Si llama regular al rectángulo, hágale medir los cuatro lados.
Cinco minutos en la casa. Que trace un hexágono regular con compás llevando el radio sobre la circunferencia.
Clave de análisis
Un polígono regular tiene todos los lados y todos los ángulos iguales. El radio va del centro al vértice y la apotema al punto medio del lado, siempre más corta. El ángulo central sale de repartir 360° entre la cantidad de lados, y esa es la clave para trazarlo: circunferencia con compás, ángulos con transportador, unión con regla. Y acordate del hexágono: su lado mide igual que el radio.