Medida de la circunferencia, área del círculo y figuras compuestas
Al terminar vas a poder calcular cuánto mide una circunferencia usando π, hallar el área de un círculo a partir de su radio o de su diámetro, y calcular el área de figuras formadas por círculos, triángulos y cuadriláteros.
La medida de la circunferencia
Como π es el cociente entre la circunferencia y el diámetro, despejando queda la fórmula:
C = π × d
Y como el diámetro es el doble del radio, también se escribe:
C = 2 × π × r
Las dos dan lo mismo. Se usa la primera cuando el dato es el diámetro y la segunda cuando el dato es el radio. Trabajamos con π = 3,14.
Una tapa de 10 cm de diámetro:
C = 3,14 × 10 = 31,4 cm
Una piscina circular de 3 m de radio:
C = 2 × 3,14 × 3 = 6,28 × 3 = 18,84 m
El área del círculo
El área del círculo es:
A = π × r × r, que se escribe A = π × r²
Fijate en que la fórmula pide el radio, no el diámetro. Si el dato es el diámetro, lo primero es partirlo a la mitad.
Un círculo de radio 5 cm:
A = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 cm²
Una tapa de 14 cm de diámetro: el radio es 14 ÷ 2 = 7 cm.
A = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 cm²
¿De dónde sale esa fórmula? Si partís el círculo en muchos triangulitos finos con vértice en el centro y los acomodás alternados, se arma casi un rectángulo: su base es media circunferencia (π × r) y su altura es el radio (r). Entonces el área es π × r × r.
El área de figuras compuestas
Cuando la figura mezcla círculos con triángulos y cuadriláteros, el procedimiento es el de siempre:
- Partí la figura en piezas conocidas, o completala y restá lo que sobra.
- Calculá el área de cada pieza con su fórmula.
- Sumá o restá según corresponda.
Hay dos piezas circulares que aparecen mucho:
- El semicírculo: medio círculo. Su área es (π × r²) ÷ 2.
- El cuarto de círculo: su área es (π × r²) ÷ 4.
Ejemplos resueltos
1. Circunferencia con el diámetro. Un aro de baloncesto tiene 45 cm de diámetro. ¿Cuánto mide su borde?
- C = 3,14 × 45 = 141,3 cm.
2. Circunferencia con el radio. Una fuente circular tiene 2,5 m de radio. ¿Cuántos metros de reja hacen falta para rodearla?
- C = 2 × 3,14 × 2,5 = 6,28 × 2,5 = 15,7 m.
3. Área con el radio. Un mantel redondo tiene 60 cm de radio. ¿Cuánta tela tiene?
- A = 3,14 × 60² = 3,14 × 3 600 = 11 304 cm².
4. Área con el diámetro. Una tapa tiene 14 cm de diámetro. ¿Cuál es su área?
- Radio: 14 ÷ 2 = 7 cm.
- A = 3,14 × 49 = 153,86 cm².
5. Figura compuesta que suma. Una pista está formada por un rectángulo de 10 m por 6 m y un semicírculo pegado en un extremo, cuyo diámetro es el lado de 6 m. ¿Cuál es el área total?
- Rectángulo: 10 × 6 = 60 m².
- Semicírculo: el radio es 6 ÷ 2 = 3 m. A = (3,14 × 3²) ÷ 2 = (3,14 × 9) ÷ 2 = 28,26 ÷ 2 = 14,13 m².
- Total: 60 + 14,13 = 74,13 m².
6. Figura compuesta que resta. Una arandela es un círculo de 5 cm de radio con un agujero circular de 3 cm de radio en el centro. ¿Cuál es el área del metal?
- Círculo grande: 3,14 × 25 = 78,5 cm².
- Agujero: 3,14 × 9 = 28,26 cm².
- Metal: 78,5 − 28,26 = 50,24 cm².
7. Círculo dentro de un cuadrado. Un cuadrado de 20 cm de lado tiene dibujado adentro el círculo más grande que cabe. ¿Cuánta superficie del cuadrado queda por fuera del círculo?
- El diámetro del círculo es el lado del cuadrado: 20 cm, así que el radio es 10 cm.
- Cuadrado: 20 × 20 = 400 cm².
- Círculo: 3,14 × 100 = 314 cm².
- Queda por fuera: 400 − 314 = 86 cm².
8. Cuántas vueltas. Una llanta de bicicleta tiene 70 cm de diámetro. ¿Cuánto avanza en 100 vueltas?
- Cada vuelta avanza una circunferencia: 3,14 × 70 = 219,8 cm.
- En 100 vueltas: 219,8 × 100 = 21 980 cm = 219,8 m.
Los errores que más se cobran
- Usar el diámetro en la fórmula del área. Con una tapa de 14 cm de diámetro se calcula 3,14 × 14² = 615,44. Pasa porque el dato que da el enunciado es el diámetro y se usa tal cual. La fórmula del área pide el radio: hay que partir a la mitad primero.
- Multiplicar el radio por 2 en vez de elevarlo al cuadrado. Se calcula 3,14 × 5 × 2 = 31,4 en lugar de 3,14 × 25 = 78,5. Pasa por confundir la fórmula del área con la de la circunferencia, que sí lleva un 2. En el área, el radio se multiplica por sí mismo.
- Confundir la fórmula de la circunferencia con la del área. Se contesta la longitud cuando pedían superficie. Pasa porque las dos fórmulas llevan π. La pista es la unidad: si la respuesta va en cm², es área; si va en cm, es circunferencia.
- Olvidar dividir el semicírculo entre dos. En la pista se suma el círculo completo. Pasa por calcular con la fórmula conocida y no mirar el dibujo. Medio círculo es la mitad del área.
- Sumar el borde recto al perímetro de un semicírculo sin pensar. En la pista, el lado de 6 m queda por dentro de la figura, así que no es parte del contorno. El perímetro se recorre por el borde real.
- Redondear a mitad de camino. Se calcula 3,14 × 9 = 28 y se sigue con ese número. Pasa por comodidad. Los redondeos intermedios se acumulan: conviene arrastrar los decimales y redondear solo al final.
Clave de análisis
Con el diámetro, la circunferencia es π × d; con el radio, es 2 × π × r. El área del círculo es siempre π × r², y si te dan el diámetro, partilo a la mitad antes de nada. Fijate en la unidad de la respuesta para saber cuál fórmula se pedía: cm para la circunferencia, cm² para el área. En figuras compuestas, partí en piezas, calculá cada una y sumá o restá, dividiendo entre 2 los semicírculos y entre 4 los cuartos de círculo.