Cuerpos sólidos y su volumen

Al terminar vas a poder clasificar los cuerpos sólidos según su forma y calcular el volumen de un cubo, un prisma, un cilindro, un cono, una pirámide y una esfera, expresando el resultado en unidades cúbicas o en litros.

Cómo se clasifican los cuerpos sólidos

Los cuerpos sólidos se parten en dos grandes grupos según cómo sean sus superficies.

Poliedros: todas sus caras son planas y son polígonos. Dentro de ellos:

• Prismas: dos bases iguales y paralelas, caras laterales rectangulares. El cubo y el ortoedro (la caja de zapatos) son prismas.
• Pirámides: una sola base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un punto llamado ápice o cúspide.

Cuerpos redondos: tienen al menos una superficie curva.

• Cilindro: dos bases circulares y una superficie lateral curva.
• Cono: una base circular y una superficie lateral curva que termina en punta.
• Esfera: toda su superficie es curva; no tiene caras planas, ni aristas, ni vértices.

Las fórmulas del volumen

El volumen es el espacio que ocupa el cuerpo, y se mide en unidades cúbicas: cm³, dm³, m³. Trabajamos con π = 3,14.

Hay una idea que ordena casi todo: el volumen de un cuerpo con base y altura es el área de la base multiplicada por la altura. El prisma y el cilindro funcionan así; lo único que cambia es cómo se calcula el área de la base (un polígono en el prisma, un círculo en el cilindro).

Y otra idea que ahorra la mitad del trabajo: la pirámide y el cono valen la tercera parte del prisma y del cilindro que tienen su misma base y su misma altura. Si llenás un cono con arena y lo vaciás en un cilindro de igual base y altura, hacen falta tres conos para llenarlo.

Acordate de la conversión que cierra el tema: 1 dm³ = 1 litro y 1 m³ = 1 000 litros.

Ejemplos resueltos

1. Cubo. Una caja cúbica tiene 5 cm de arista. ¿Cuál es su volumen?

• V = 5 × 5 × 5 = 125 cm³.

2. Prisma rectangular. Una caja mide 8 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto.

• Área de la base: 8 × 4 = 32 cm².
• V = 32 × 3 = 96 cm³.

3. Prisma de base triangular. Un prisma tiene base triangular de 6 cm de base y 4 cm de altura, y mide 10 cm de largo.

• Área de la base: (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm².
• V = 12 × 10 = 120 cm³.

4. Cilindro. Una lata tiene 3 cm de radio y 10 cm de altura.

• Área de la base: 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm².
• V = 28,26 × 10 = 282,6 cm³.

5. Cono. Un cono tiene la misma base y la misma altura que la lata anterior.

• V = 282,6 ÷ 3 = 94,2 cm³.

6. Pirámide. Una pirámide tiene base cuadrada de 6 cm de lado y 9 cm de altura.

• Área de la base: 6 × 6 = 36 cm².
• V = (36 × 9) ÷ 3 = 324 ÷ 3 = 108 cm³.

7. Esfera. Una bola tiene 6 cm de radio.

• r × r × r = 6 × 6 × 6 = 216.
• 3,14 × 216 = 678,24.
• 678,24 × 4 = 2 712,96.
• V = 2 712,96 ÷ 3 = 904,32 cm³.

8. Del volumen a los litros. Un tanque cilíndrico tiene 0,5 m de radio y 1,2 m de altura. ¿Cuántos litros almacena?

• Área de la base: 3,14 × 0,5² = 3,14 × 0,25 = 0,785 m².
• V = 0,785 × 1,2 = 0,942 m³.
• En litros: 0,942 × 1 000 = 942 litros.

Los errores que más se cobran

• Olvidar dividir entre 3 en el cono y en la pirámide. Se entrega el volumen del cilindro como si fuera el del cono. Pasa porque la primera parte de la fórmula es idéntica y la mano se detiene ahí. El cono y la pirámide son la tercera parte del cuerpo de igual base y altura.
• Usar el diámetro como radio en el cilindro o el cono. Se calcula con 6 cuando el radio era 3 y el volumen sale cuatro veces más grande. Pasa porque el enunciado suele dar el diámetro. Si el dato es el diámetro, partilo a la mitad antes de nada.
• Multiplicar el radio por 3 en la esfera. Se calcula 3,14 × 6 × 3 en vez de 6 × 6 × 6. Pasa por confundir el exponente con un factor. En la esfera el radio se multiplica por sí mismo tres veces.
• Mezclar unidades. Se calcula un tanque con 0,5 m de radio y 120 cm de altura. Pasa porque el enunciado da los datos revueltos. Las tres medidas se ponen en la misma unidad antes de operar.
• Usar la arista lateral inclinada como altura. En la pirámide y el cono se toma el lado que se ve en el dibujo. Pasa porque la altura va punteada por dentro. La altura es la distancia perpendicular de la base al ápice.
• Contestar con unidades cuadradas. Se escribe que el volumen es 96 cm². Pasa por copiar la unidad del área de la base. El volumen lleva siempre unidades cúbicas.

Clave de análisis

Clasificá primero: si todas las caras son planas es un poliedro (prisma o pirámide) y si hay superficie curva es un cuerpo redondo (cilindro, cono o esfera). Para el volumen, calculá el área de la base y multiplicá por la altura; si el cuerpo termina en punta —cono o pirámide—, dividí ese resultado entre 3. La esfera es el único caso aparte: cuatro tercios de π por el radio multiplicado tres veces. Y comprobá la unidad: el volumen siempre en cm³, dm³ o m³, y si piden litros, acordate de que 1 dm³ = 1 L.