Perímetro de polígonos regulares y problemas con circunferencias

Al terminar vas a poder calcular el perímetro de cualquier polígono regular, hallar el lado cuando te dan el perímetro, y resolver problemas que combinan polígonos regulares con circunferencias y círculos.

El perímetro de un polígono regular

Como todos los lados miden lo mismo, no hace falta sumarlos uno por uno:

P = número de lados × medida del lado

Y al revés, si te dan el perímetro y querés el lado:

lado = perímetro ÷ número de lados

Un hexágono regular de 48 cm de perímetro tiene lados de 48 ÷ 6 = 8 cm.

Combinar polígonos con circunferencias

Los problemas interesantes mezclan las dos cosas. Estos son los enlaces que más aparecen:

• Hexágono inscrito: su lado mide lo mismo que el radio de la circunferencia.
• Cuadrado con círculo inscrito: el diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.
• Círculo inscrito en un polígono: el radio del círculo es la apotema del polígono.
• Comparar contornos: el perímetro del polígono inscrito siempre es menor que la circunferencia, porque la línea recta entre dos puntos es más corta que el arco que los une.

Ejemplos resueltos

1. Perímetro directo. Un octágono regular tiene lados de 7 cm. ¿Cuál es su perímetro?

• 8 × 7 = 56 cm.

2. Del perímetro al lado. Un pentágono regular tiene 85 cm de perímetro. ¿Cuánto mide cada lado?

• 85 ÷ 5 = 17 cm.

3. Hexágono inscrito. Se traza una circunferencia de 9 cm de radio y se le inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono y cuánto la circunferencia? ¿Cuál es mayor?

• Lado del hexágono = radio = 9 cm. Perímetro: 6 × 9 = 54 cm.
• Circunferencia: 2 × 3,14 × 9 = 6,28 × 9 = 56,52 cm.
• La circunferencia es mayor, como tenía que ser: 56,52 es más que 54.

4. Círculo dentro de un cuadrado. Un mosaico cuadrado de 24 cm de lado lleva pintado el círculo más grande que cabe. ¿Cuánto mide el borde del círculo y cuánta superficie del cuadrado queda sin pintar?

• Diámetro del círculo = lado del cuadrado = 24 cm, así que el radio es 12 cm.
• Borde del círculo: 3,14 × 24 = 75,36 cm.
• Área del cuadrado: 24 × 24 = 576 cm².
• Área del círculo: 3,14 × 12² = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
• Sin pintar: 576 − 452,16 = 123,84 cm².

5. Una cerca con forma de hexágono. Un corral hexagonal regular tiene 12 m de lado y hay que cercarlo con tres vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan?

• Perímetro: 6 × 12 = 72 m.
• Tres vueltas: 72 × 3 = 216 m.

6. Comparar dos contornos. ¿Qué tiene mayor contorno: un cuadrado de 10 cm de lado o un círculo de 10 cm de diámetro?

• Cuadrado: 4 × 10 = 40 cm.
• Círculo: 3,14 × 10 = 31,4 cm.
• El cuadrado tiene mayor contorno.

7. Un jardín combinado. Un jardín es un cuadrado de 8 m de lado con un cuarto de círculo de 8 m de radio recortado en una esquina. ¿Cuál es el área del jardín?

• Cuadrado: 8 × 8 = 64 m².
• Cuarto de círculo: (3,14 × 8²) ÷ 4 = (3,14 × 64) ÷ 4 = 200,96 ÷ 4 = 50,24 m².
• Jardín: 64 − 50,24 = 13,76 m².

8. Baldosas hexagonales. Una baldosa hexagonal regular tiene 15 cm de lado. ¿Cuánto mide su contorno y cuánto suman los contornos de 20 baldosas sueltas?

• Una baldosa: 6 × 15 = 90 cm.
• Veinte sueltas: 90 × 20 = 1 800 cm, o sea 18 m.

Los errores que más se cobran

• Sumar los lados de a uno y perder alguno. En un octágono se suman siete lados. Pasa por contar con el dedo en el dibujo, donde algunos lados quedan tapados. Con la multiplicación no se pierde ninguno: lados por medida.
• Usar el diámetro donde va el radio en el área. En el mosaico se calcula 3,14 × 24². Pasa porque el dato del enunciado es el lado del cuadrado, que es el diámetro. El área del círculo pide el radio: 12 cm.
• Creer que el lado del polígono inscrito es igual al radio en cualquier polígono. Se aplica el atajo al pentágono o al octágono. Pasa por generalizar el caso del hexágono. Solo en el hexágono regular el lado mide igual que el radio.
• Pensar que el polígono inscrito tiene mayor perímetro que la circunferencia. Pasa porque el polígono se ve «más grande» por sus esquinas. Cada lado es una cuerda y la cuerda es más corta que su arco, así que el perímetro del polígono siempre queda por debajo.
• Olvidar dividir el cuarto de círculo entre 4. En el jardín se resta el círculo completo y el área da negativa. Pasa por aplicar la fórmula sin mirar la figura. Un resultado negativo para un área es señal de que algo se restó de más.
• Confundir el contorno de una pieza con el de varias unidas. Se multiplica el perímetro por la cantidad de baldosas cuando están pegadas. Pasa por repetir el procedimiento de las piezas sueltas. Si las baldosas se juntan, los lados que quedan pegados dejan de ser contorno.

Clave de análisis

El perímetro de un polígono regular es la cantidad de lados por la medida del lado, y el lado sale dividiendo el perímetro entre la cantidad de lados. Cuando hay polígono y circunferencia juntos, buscá el enlace: en el hexágono inscrito el lado es el radio; en el círculo inscrito en un cuadrado, el diámetro es el lado. Y comprobá siempre el tamaño: el polígono inscrito tiene menos contorno que la circunferencia que lo rodea.