Geometría
Perímetro de polígonos regulares y problemas con circunferencias
Al terminar vas a poder calcular el perímetro y el área de cualquier polígono regular, hallar el lado cuando te dan el perímetro, y resolver problemas que combinan polígonos regulares con circunferencias y círculos.
El perímetro de un polígono regular
Como todos los lados miden lo mismo, no hace falta sumarlos uno por uno:
P = número de lados × medida del lado
| polígono | fórmula | ejemplo con lado 5 cm |
|---|---|---|
| triángulo equilátero | 3 × l | 15 cm |
| cuadrado | 4 × l | 20 cm |
| pentágono regular | 5 × l | 25 cm |
| hexágono regular | 6 × l | 30 cm |
| octágono regular | 8 × l | 40 cm |
Y al revés, si te dan el perímetro y querés el lado:
lado = perímetro ÷ número de lados
Un hexágono regular de 48 cm de perímetro tiene lados de 48 ÷ 6 = 8 cm.
El área de un polígono regular
El perímetro es el contorno; el área es la superficie que queda adentro. Y para el polígono regular hay una fórmula sola, sirva el que sirva:
A = P × a ÷ 2, donde P es el perímetro y a es la apotema (el segmento que va del centro al punto medio de un lado).
De dónde sale, para que no haya que aprenderla de memoria: un polígono regular de n lados se parte en n triángulos iguales, cada uno con base el lado y altura la apotema. El área de cada triángulo es lado × apotema ÷ 2, y al sumarlos todos los lados juntos forman el perímetro. Por eso queda perímetro × apotema ÷ 2.
Un hexágono regular de 8 cm de lado y 6,9 cm de apotema tiene P = 6 × 8 = 48 cm, así que A = 48 × 6,9 ÷ 2 = 165,6 cm².
Dos cuidados que se cobran caro:
- La apotema no es el radio. El radio va del centro a un vértice y siempre mide más que la apotema, que va del centro al medio de un lado.
- El área lleva unidades cuadradas (cm², m²); el perímetro, unidades simples (cm, m).
Combinar polígonos con circunferencias
Los problemas interesantes mezclan las dos cosas. Estos son los enlaces que más aparecen:
- Hexágono inscrito: su lado mide lo mismo que el radio de la circunferencia.
- Cuadrado con círculo inscrito: el diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.
- Círculo inscrito en un polígono: el radio del círculo es la apotema del polígono.
- Comparar contornos: el perímetro del polígono inscrito siempre es menor que la circunferencia, porque la línea recta entre dos puntos es más corta que el arco que los une.
Ejemplos resueltos
1. Perímetro directo. Un octágono regular tiene lados de 7 cm. ¿Cuál es su perímetro?
- 8 × 7 = 56 cm.
2. Del perímetro al lado. Un pentágono regular tiene 85 cm de perímetro. ¿Cuánto mide cada lado?
- 85 ÷ 5 = 17 cm.
3. Hexágono inscrito. Se traza una circunferencia de 9 cm de radio y se le inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono y cuánto la circunferencia? ¿Cuál es mayor?
- Lado del hexágono = radio = 9 cm. Perímetro: 6 × 9 = 54 cm.
- Circunferencia: 2 × 3,14 × 9 = 6,28 × 9 = 56,52 cm.
- La circunferencia es mayor, como tenía que ser: 56,52 es más que 54.
4. Círculo dentro de un cuadrado. Un mosaico cuadrado de 24 cm de lado lleva pintado el círculo más grande que cabe. ¿Cuánto mide el borde del círculo y cuánta superficie del cuadrado queda sin pintar?
- Diámetro del círculo = lado del cuadrado = 24 cm, así que el radio es 12 cm.
- Borde del círculo: 3,14 × 24 = 75,36 cm.
- Área del cuadrado: 24 × 24 = 576 cm².
- Área del círculo: 3,14 × 12² = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
- Sin pintar: 576 − 452,16 = 123,84 cm².
5. Una cerca con forma de hexágono. Un corral hexagonal regular tiene 12 m de lado y hay que cercarlo con tres vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan?
- Perímetro: 6 × 12 = 72 m.
- Tres vueltas: 72 × 3 = 216 m.
6. Comparar dos contornos. ¿Qué tiene mayor contorno: un cuadrado de 10 cm de lado o un círculo de 10 cm de diámetro?
- Cuadrado: 4 × 10 = 40 cm.
- Círculo: 3,14 × 10 = 31,4 cm.
- El cuadrado tiene mayor contorno.
7. Un jardín combinado. Un jardín es un cuadrado de 8 m de lado con un cuarto de círculo de 8 m de radio recortado en una esquina. ¿Cuál es el área del jardín?
- Cuadrado: 8 × 8 = 64 m².
- Cuarto de círculo: (3,14 × 8²) ÷ 4 = (3,14 × 64) ÷ 4 = 200,96 ÷ 4 = 50,24 m².
- Jardín: 64 − 50,24 = 13,76 m².
8. Baldosas hexagonales. Una baldosa hexagonal regular tiene 15 cm de lado. ¿Cuánto mide su contorno y cuánto suman los contornos de 20 baldosas sueltas?
- Una baldosa: 6 × 15 = 90 cm.
- Veinte sueltas: 90 × 20 = 1 800 cm, o sea 18 m.
Los errores que más se cobran
- Usar el radio en lugar de la apotema para el área. El resultado sale de más. Pasa porque los dos salen del centro; el que sirve para el área es el que llega al medio del lado.
- Sumar los lados de a uno y perder alguno. En un octágono se suman siete lados. Pasa por contar con el dedo en el dibujo, donde algunos lados quedan tapados. Con la multiplicación no se pierde ninguno: lados por medida.
- Usar el diámetro donde va el radio en el área. En el mosaico se calcula 3,14 × 24². Pasa porque el dato del enunciado es el lado del cuadrado, que es el diámetro. El área del círculo pide el radio: 12 cm.
- Creer que el lado del polígono inscrito es igual al radio en cualquier polígono. Se aplica el atajo al pentágono o al octágono. Pasa por generalizar el caso del hexágono. Solo en el hexágono regular el lado mide igual que el radio.
- Pensar que el polígono inscrito tiene mayor perímetro que la circunferencia. Pasa porque el polígono se ve «más grande» por sus esquinas. Cada lado es una cuerda y la cuerda es más corta que su arco, así que el perímetro del polígono siempre queda por debajo.
- Olvidar dividir el cuarto de círculo entre 4. En el jardín se resta el círculo completo y el área da negativa. Pasa por aplicar la fórmula sin mirar la figura. Un resultado negativo para un área es señal de que algo se restó de más.
- Confundir el contorno de una pieza con el de varias unidas. Se multiplica el perímetro por la cantidad de baldosas cuando están pegadas. Pasa por repetir el procedimiento de las piezas sueltas. Si las baldosas se juntan, los lados que quedan pegados dejan de ser contorno.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: calcular el perímetro de polígonos regulares.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Cómo se calcula el perímetro de un octágono regular? → Número de lados por la medida del lado
- Si tiene 8 lados de 5 cm, ¿cuánto es? → 40 centímetros
- ¿Por qué no conviene sumar de a uno? → Porque se pierde alguno
Si se traba. Si suma de a uno y pierde lados, dígale que multiplique: para eso es regular.
Cinco minutos en la casa. Que calcule el perímetro de una figura regular de la casa midiendo un solo lado.
Clave de análisis
El perímetro de un polígono regular es la cantidad de lados por la medida del lado, y el lado sale dividiendo el perímetro entre la cantidad de lados. Cuando hay polígono y circunferencia juntos, buscá el enlace: en el hexágono inscrito el lado es el radio; en el círculo inscrito en un cuadrado, el diámetro es el lado. Y comprobá siempre el tamaño: el polígono inscrito tiene menos contorno que la circunferencia que lo rodea.