Perímetro y área de triángulos y cuadriláteros
Al terminar vas a poder distinguir el perímetro del área sin dudar, calcular el área de un triángulo, un rectángulo, un romboide, un rombo y un trapecio, explicar de dónde sale cada fórmula, y decidir cuál de las dos medidas te está pidiendo un problema.
Dos preguntas distintas: cuánto borde y cuánta superficie
El perímetro es lo que mide el borde de una figura. Se calcula sumando todos los lados, uno por uno, y se escribe en metros o centímetros.
El área es cuánta superficie cubre la figura por dentro. Se mide en unidades cuadradas: m², cm². Un metro cuadrado es lo que ocupa un cuadrado de un metro por un metro.
Si el problema habla de cercar, bordear o enmarcar, pide perímetro. Si habla de pintar, chapear o poner cerámica, pide área.
Por qué el área del rectángulo es base por altura
Pensá en un rectángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura, cubierto con cuadritos de 1 cm de lado. En cada fila caben 5 cuadritos, y hay 3 filas.
Los cuadritos son 5 × 3 = 15, y cada uno mide 1 cm². El área es 15 cm². La fórmula A = b × h no cayó del cielo: es contar filas de cuadritos sin dibujarlas.
El perímetro del mismo rectángulo es 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm, que se escribe corto como 2 × (b + h).
El triángulo y el romboide: enderezar y partir a la mitad
Un romboide es un paralelogramo inclinado. Si le cortás el triángulo de un extremo y lo pegás en el otro, queda un rectángulo con la misma base y la misma altura. Por eso su área también es b × h.
Cuidado con la altura: es la distancia perpendicular entre las dos bases, no el lado inclinado. El lado inclinado siempre es más largo y da un área inflada.
Ahora poné dos triángulos iguales, uno volteado sobre el otro. Arman un romboide de la misma base y la misma altura. El romboide mide b × h, y son dos triángulos, así que cada uno mide la mitad:
A = b × h ÷ 2
El trapecio y el rombo salen del mismo truco
Un trapecio tiene dos lados paralelos: la base mayor B y la base menor b. Juntá dos trapecios iguales, uno al revés del otro, y se arma un romboide de base B + b y altura h.
Ese romboide mide (B + b) × h, y contiene dos trapecios. Entonces uno solo mide (B + b) × h ÷ 2.
En el rombo, las dos diagonales se cruzan formando ángulo recto. El rombo cabe justo dentro de un rectángulo cuyos lados son la diagonal mayor D y la menor d, y ocupa la mitad de ese rectángulo: A = D × d ÷ 2.
Un polígono regular tiene todos los lados iguales. Por eso su perímetro es número de lados × medida del lado.
| figura | área |
|---|---|
| rectángulo | b × h |
| triángulo | b × h ÷ 2 |
| romboide | b × h |
| trapecio | (B + b) × h ÷ 2 |
| rombo | D × d ÷ 2 |
El perímetro de todas ellas es siempre lo mismo: la suma de sus lados.
Ejemplos resueltos
1. Un terreno rectangular mide 18 m de frente por 12 m de fondo. ¿Cuánta malla se ocupa para cercarlo y cuántos metros cuadrados hay que chapear? Cercar es borde, o sea perímetro: 18 + 12 + 18 + 12 = 60 m de malla. Chapear es superficie, o sea área: 18 × 12 = 216 m².
2. Un rótulo triangular tiene 14 cm de base y 9 cm de altura. ¿Cuál es su área? Primero el rectángulo imaginario: 14 × 9 = 126. El triángulo es la mitad: 126 ÷ 2 = 63 cm².
3. Un romboide tiene lados de 9 cm y 6 cm, y una altura de 5 cm sobre el lado de 9 cm. ¿Cuál es su área? La altura es 5, no 6. El 6 es el lado inclinado y ahí está la trampa. A = 9 × 5 = 45 cm².
4. Un trapecio tiene base mayor de 10 m, base menor de 6 m y altura de 4 m. Sumo las bases: 10 + 6 = 16. Multiplico por la altura: 16 × 4 = 64. Divido entre 2: 64 ÷ 2 = 32 m².
5. Un rombo tiene diagonales de 12 cm y 8 cm, y un hexágono regular mide 7 cm de lado. Sacá el área del rombo y el perímetro del hexágono. Rombo: 12 × 8 = 96, y 96 ÷ 2 = 48 cm². Hexágono: 6 × 7 = 42 cm.
Los errores que más se cobran
- Contestar el perímetro cuando piden el área, o al revés. Pasa por leer el número y no el verbo. El verbo del problema —cercar, pintar— es el que decide, y se lee antes de tocar los números.
- Usar el lado inclinado como altura en el romboide o el triángulo. El lado inclinado es la hipotenusa de un triangulito y siempre mide más que la altura, así que el área sale de más.
- Olvidar dividir entre dos en el triángulo, el trapecio y el rombo. Los tres salen de partir una figura doble: si no dividís, estás midiendo la figura doble.
- Escribir la unidad al cuadrado en el perímetro, o dejarla simple en el área. El área cuenta cuadritos y por eso lleva el 2 arriba.
- Mezclar unidades. Un lado en metros y otro en centímetros dan un resultado sin sentido. Primero se pasan los dos a la misma unidad.
Clave de análisis
Con dos ideas rearmás todas las fórmulas de esta lección. La primera: el área se cuenta en cuadritos, y por eso el rectángulo es filas por columnas y por eso la unidad lleva el 2 arriba.
La segunda: toda figura de tres o cuatro lados se lleva a un rectángulo o a un romboide. El triángulo es medio romboide, dos trapecios arman un romboide, el rombo es medio rectángulo hecho con las diagonales. Cada «÷ 2» de una fórmula de área está ahí porque la figura es la mitad de otra más fácil.