El volumen del cubo, el prisma, el cilindro, el cono, la pirámide y la esfera
Al terminar vas a poder calcular el volumen de un cubo, un prisma, un cilindro, un cono, una pirámide y una esfera, explicar por qué el cono y la pirámide llevan una división entre tres, y decidir qué unidad corresponde al resultado.
Qué se está midiendo
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Se mide contando cuántos cubitos de arista 1 caben adentro.
Por eso el resultado lleva siempre una unidad cúbica: cm³, m³, dm³. El exponente 3 no es adorno: recuerda que se multiplicaron tres medidas, largo por ancho por alto.
Un decímetro cúbico equivale a un litro. Es lo que conecta el volumen con lo que se mide en la pulpería.
La idea que genera casi todas las fórmulas
Imaginá una caja rellena de cubitos. La capa del fondo tiene tantos cubitos como diga el área de la base, y hay tantas capas como diga la altura.
De ahí sale la fórmula madre:
Volumen del prisma y del cilindro = área de la base × altura
Es la misma para los dos porque las capas no dependen de la forma de la base: si es un rectángulo el cuerpo es un prisma, y si es un círculo es un cilindro.
Lo único que cambia de un cuerpo a otro es cómo se calcula el área de esa base:
| Cuerpo | Área de la base | Volumen |
| Cubo de arista a | a × a | a × a × a = a³ |
| Prisma rectangular | largo × ancho | largo × ancho × alto |
| Cilindro de radio r | π × r × r | π × r × r × altura |
El área del círculo es π × radio × radio, y en esta prueba se trabaja con π = 3,14.
Por qué el cono y la pirámide se dividen entre tres
Tomá un cilindro y un cono con la misma base y la misma altura. Si llenás el cono de agua y lo vaciás en el cilindro, hacen falta exactamente tres veces para llenarlo. Lo mismo pasa con una pirámide y el prisma de su misma base y altura.
Por eso:
Volumen del cono y de la pirámide = (área de la base × altura) ÷ 3
No es una fórmula aparte: es la fórmula madre dividida entre tres. Si te acordás del cilindro, ya tenés el cono.
La esfera
La esfera no se apila en capas iguales, porque se va angostando hacia los polos. Su volumen es:
Volumen de la esfera = (4 × π × radio × radio × radio) ÷ 3
El radio aparece tres veces, como en todas las demás, porque el volumen multiplica tres medidas. Lo que la distingue son el 4 y la división entre 3.
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuál es el volumen de un cubo de 4 cm de arista? Todas las aristas miden igual, así que se multiplica tres veces la misma medida. 4 × 4 = 16; 16 × 4 = 64 cm³.
2. Una caja mide 20 cm de largo, 15 cm de ancho y 10 cm de alto. ¿Cuánto le cabe? Primero el área de la base: 20 × 15 = 300 cm². Después se apilan las capas: 300 × 10 = 3 000 cm³.
3. Un tanque cilíndrico tiene 5 cm de radio y 12 cm de altura. ¿Cuál es su volumen? Área de la base: 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Volumen: 78,5 × 12 = 942 cm³.
4. Un cono tiene la misma base y la misma altura que ese tanque. ¿Cuál es su volumen? Es la tercera parte del cilindro. 942 ÷ 3 = 314 cm³. Comprobación: 314 × 3 = 942.
5. Una pirámide tiene base cuadrada de 6 m de lado y 9 m de altura. ¿Cuál es su volumen? Área de la base: 6 × 6 = 36 m². Base por altura: 36 × 9 = 324. Dividido entre 3: 108 m³.
6. ¿Cuál es el volumen de una esfera de 3 cm de radio? El radio tres veces: 3 × 3 × 3 = 27. Por π: 3,14 × 27 = 84,78. Por 4: 84,78 × 4 = 339,12. Entre 3: 113,04 cm³.
Los errores que más se cobran
- Usar el diámetro en lugar del radio. El porqué: la fórmula pide radio y el enunciado suele dar el diámetro. Como el radio se multiplica dos o tres veces, el error multiplica el resultado por cuatro o por ocho.
- Olvidar la división entre tres en el cono y en la pirámide. El porqué: esos cuerpos se cierran hacia la punta y ocupan la tercera parte del prisma o cilindro de igual base y altura.
- Poner la unidad al cuadrado. Escribir 942 cm² para un volumen. El porqué: el área multiplica dos medidas y el volumen tres. El exponente cuenta cuántas entraron.
- Mezclar unidades en el mismo cálculo. El porqué: si la base está en metros y la altura en centímetros, el producto no significa nada.
- Confundir el volumen con el área de las caras. El porqué: el volumen mide lo que cabe adentro; el área mide cuánto papel hace falta para forrarlo.
- Redondear a media cuenta. El porqué: si redondeás 78,5 a 79 antes de multiplicar por 12, el resultado se corre. El redondeo va al final.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: calcular el volumen de los cuerpos y no confundir radio con diámetro.
Tres preguntas para hacerle
- Si dan el diámetro, ¿qué se hace? → Se divide entre dos
- Un cubo de 4 cm de arista, ¿qué volumen tiene? → 64 centímetros cúbicos
- ¿Por qué el cono lleva un tercio? → Porque cabe tres veces en el cilindro de igual base y altura
Si se traba. Si usa el diámetro, hágale anotar el radio aparte antes de tocar la fórmula.
Cinco minutos en la casa. Llenen con agua un vaso y un cono de papel de la misma boca y que vea cuántas veces cabe.
Clave de análisis
No hay seis fórmulas que guardar: hay una sola idea y dos ajustes.
La idea es que el volumen se arma apilando capas: el área de la base dice cuánto entra en una capa y la altura dice cuántas capas hay. Con eso salen el cubo, el prisma rectangular y el cilindro, y la única diferencia entre los tres es cómo se calcula el área de su base.
El primer ajuste es el ÷ 3 del cono y de la pirámide, con una razón que se comprueba con agua: en el cuerpo de la misma base y altura caben tres. El segundo es la esfera, que no se apila en capas iguales y por eso lleva el 4 y el 3.
Y antes de escribir la respuesta, dos controles: ¿usé el radio o me pasaron el diámetro? y ¿la unidad va al cubo? Son los dos errores que más puntos cuestan acá, y los dos se atrapan en cinco segundos.