Simetría: ejes y puntos homólogos

Al terminar vas a poder decidir si una figura es simétrica y por qué, contar cuántos ejes de simetría tiene sin adivinar, encontrar el punto homólogo de otro respecto a una recta, y reconocer las figuras que parecen simétricas y no lo son.

Qué quiere decir que una figura sea simétrica

Una figura es simétrica si existe una recta que la parte en dos mitades que calzan exactamente al doblarla. Esa recta se llama eje de simetría.

La prueba es de doblar, no de mirar. Si doblás una mascarada de Barva por la mitad y el ojo izquierdo cae encima del derecho, hay simetría. Si cae corrido, no la hay, aunque el dibujo se vea parejo.

El eje de simetría no es cualquier recta que parta la figura en dos partes iguales de tamaño. Es la que hace que una mitad caiga encima de la otra.

Esa diferencia decide muchos ítems. Un romboide se parte en dos triángulos iguales por su diagonal, pero al doblarlo las mitades no calzan: quedan volteadas. El romboide no tiene ningún eje de simetría.

El punto homólogo: la regla de la distancia

Dado un punto y un eje, el punto homólogo es su reflejo: el punto donde cae al doblar por el eje. Se construye con dos condiciones, y las dos tienen que cumplirse.

Primera: está a la misma distancia del eje, del otro lado. Segunda: el segmento que une los dos puntos es perpendicular al eje, o sea que lo cruza formando ángulo recto.

Si el punto está sobre el eje, su homólogo es él mismo: al doblar no se mueve. Por eso los puntos del eje son los únicos que no cambian de lugar.

Cuántos ejes tiene cada figura, y por qué ese número

El número de ejes no se anda averiguando de memoria: se cuenta buscando dobleces que calcen.

En el cuadrado hay cuatro: las dos rectas que pasan por el medio de los lados opuestos y las dos diagonales. Son cuatro porque todos sus lados y sus ángulos son iguales.

En el rectángulo hay solo dos: las que pasan por el medio de los lados. Las diagonales no son ejes, porque al doblar por una diagonal el lado largo cae sobre el corto.

En el rombo pasa lo contrario: sus dos ejes son las diagonales, porque sus cuatro lados miden lo mismo.

De ahí sale una regla que sirve para cualquier caso nuevo: un polígono regular tiene tantos ejes de simetría como lados. El pentágono regular tiene 5 y el hexágono regular tiene 6, y no hay que probarlos uno por uno.

Ejemplos resueltos

1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un octágono regular? Es regular, así que tiene tantos ejes como lados. Un octágono tiene 8 lados, entonces tiene 8 ejes.

2. En un plano, el eje de simetría es la recta vertical que pasa por x = 5. El punto A está en (2, 3). ¿Dónde queda su homólogo? La distancia de A al eje es 5 − 2 = 3 unidades. El homólogo está 3 unidades al otro lado: 5 + 3 = 8. La altura no cambia, porque el eje es vertical y el reflejo va horizontal. El homólogo es (8, 3).

3. Un rectángulo de 10 cm por 4 cm: ¿es eje de simetría su diagonal? No. Al doblar por la diagonal, el lado de 10 cm queda encima del de 4 cm y sobran 6 cm. Las mitades tienen la misma área, pero no calzan, y el eje pide que calcen.

4. ¿Cuál de estas figuras tiene exactamente un eje de simetría: un rombo, un trapecio isósceles o un romboide? El rombo tiene dos, sus diagonales. El romboide no tiene ninguno. El trapecio isósceles tiene uno solo: la recta vertical que pasa por el medio de las dos bases paralelas.

5. El punto K está a 7 unidades del eje r. ¿Qué separación hay entre K y su homólogo? El homólogo está a 7 unidades del eje, del lado contrario. Entre los dos hay 7 + 7 = 14 unidades, y el eje queda a la mitad de ese segmento.

Los errores que más se cobran

1. Creer que toda recta que parte la figura en dos partes iguales es un eje. Igual área no es igual forma. La diagonal del rectángulo y la del romboide son la trampa clásica de este punto.
2. Darle al rectángulo cuatro ejes, como al cuadrado. Se confunden porque los dos tienen cuatro ángulos rectos, pero en el rectángulo los lados son distintos y las diagonales fallan.
3. Poner el punto homólogo a cualquier distancia. La distancia al eje tiene que ser exactamente la misma, y se cuenta en perpendicular, no en diagonal.
4. Mover el punto en las dos direcciones. Con un eje vertical solo cambia la coordenada horizontal; con uno horizontal solo cambia la vertical. Cambiar las dos es reflejar dos veces.
5. Olvidar que el punto sobre el eje no se mueve. En los ítems con figuras rotuladas hay siempre un punto sobre la recta, y su homólogo es él mismo.
6. Confundir simetría con traslación. En la simetría la figura queda volteada, como en un espejo; en la traslación queda igual, solo corrida.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: decidir si una figura es simétrica y contar sus ejes.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Toda recta que parte en dos partes iguales es eje? → No: igual área no es igual forma
2. ¿Cuántos ejes tiene un octágono regular? → Ocho
3. La diagonal de un rectángulo, ¿es eje? → No

Si se traba. Si cuenta la diagonal, hágale doblar un papel rectangular por ahí y ver que no calzan.

Cinco minutos en la casa. Doblen papeles recortados y que cuente los dobleces donde las mitades calzan.

Clave de análisis

Todo lo de esta lección se reconstruye con el gesto de doblar. Eje de simetría es el doblez donde una mitad cae exactamente sobre la otra, y punto homólogo es dónde va a parar un punto con ese mismo doblez.

De ahí sale el conteo sin adivinanza. Mientras más iguales sean los lados y los ángulos de una figura, más dobleces le funcionan: el escaleno no tiene ninguno, el isósceles tiene uno, el equilátero tiene tres, y el círculo tiene infinitos. Y para el punto homólogo alcanzan dos preguntas: ¿a qué distancia está del eje? y ¿de qué lado? La distancia se conserva, el lado se invierte, y nada más cambia.