Puntos en el plano y traslación de figuras
Al terminar vas a poder ubicar un punto en el plano sabiendo cuál número va primero y por qué el orden importa, leer la posición de una figura en una cuadrícula, trasladar una figura y decir las coordenadas de dónde quedó, y distinguir una traslación de otros movimientos.
El plano de coordenadas es un croquis con dos reglas
Un sistema de coordenadas es una cuadrícula con dos rectas numeradas que se cruzan. La horizontal se llama eje x y la vertical eje y. Donde se cruzan está el origen, que es el punto (0, 0).
Cualquier punto se nombra con dos números entre paréntesis, separados por coma: un par ordenado. El primero dice cuánto caminar hacia la derecha y el segundo cuánto subir.
El orden no es un capricho: primero horizontal, después vertical, siempre. El punto (3, 7) y el punto (7, 3) son lugares distintos de la cuadrícula.
El primer cuadrante es la esquina donde los dos números son positivos o cero. Es la única parte que entra en esta prueba, así que no vas a encontrar coordenadas negativas.
Para ubicar (4, 2): salís del origen, contás 4 rayas hacia la derecha y desde ahí 2 rayas hacia arriba. Ahí está el punto.
Leer coordenadas de un plano de barrio
Muchos ítems arman la cuadrícula como un plano de barrio: cada cuadro es una cuadra, y dan referencias de norte, sur, este y oeste. Ahí hay que traducir antes de contar.
Este es hacia la derecha y oeste hacia la izquierda. Norte es hacia arriba y sur hacia abajo. Con esa traducción, «camina 3 cuadras al este y 2 al norte» quiere decir sumar 3 al primer número y 2 al segundo.
Si alguien sale de la plaza, que está en (2, 1), y camina 3 al este y 2 al norte, llega a (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3).
Qué es una traslación, y qué la distingue
Una traslación es correr una figura sin voltearla ni girarla ni cambiarle el tamaño. Todos sus puntos se mueven la misma cantidad y en la misma dirección.
Eso tiene una consecuencia que resuelve el tema entero: la figura trasladada es idéntica a la original. Mismos lados, mismos ángulos, misma área. Lo único que cambia es dónde está.
Para trasladar una figura no hay que mover el dibujo: se le aplica el mismo movimiento a cada vértice, y después se unen los vértices nuevos.
| movimiento | cómo se reconoce |
|---|---|
| traslación | mismo tamaño y misma orientación |
| simetría | queda volteada, como en un espejo |
| ampliación | los lados se hacen más largos o más cortos |
Ejemplos resueltos
1. Un punto está en (6, 2) y otro en (2, 6). ¿Están en el mismo lugar? No. El primero está 6 a la derecha y 2 arriba; el segundo, 2 a la derecha y 6 arriba. Son dos puntos distintos, y el par ordenado los distingue justamente por el orden.
2. Un triángulo tiene vértices en A(1, 2), B(4, 2) y C(4, 6). Se traslada 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. ¿Cuáles son los vértices nuevos? A cada vértice le sumo 3 al primer número y 2 al segundo. A(1, 2) pasa a (1 + 3, 2 + 2) = (4, 4). B(4, 2) pasa a (4 + 3, 2 + 2) = (7, 4). C(4, 6) pasa a (4 + 3, 6 + 2) = (7, 8).
3. En el triángulo anterior, el lado AB medía 3 unidades. ¿Cuánto mide después de la traslación? De (4, 4) a (7, 4) hay 7 − 4 = 3 unidades. Mide 3 unidades, igual que antes: en una traslación las medidas nunca cambian.
4. Rita sale de su casa, en (3, 1), camina 4 cuadras al este y 5 al norte. ¿A qué punto llega? Este suma al primer número: 3 + 4 = 7. Norte suma al segundo: 1 + 5 = 6. Llega a (7, 6).
5. Un cuadrado tiene un vértice en (2, 5) y después de trasladarlo ese vértice quedó en (9, 5). ¿Cuál fue el movimiento, y dónde quedó el vértice que estaba en (2, 8)? El primer número pasó de 2 a 9, o sea 7 unidades a la derecha. El segundo no cambió: no hubo movimiento vertical. El movimiento es 7 unidades a la derecha, y se le aplica igual a todos los vértices. El vértice (2, 8) queda en (2 + 7, 8) = (9, 8).
Los errores que más se cobran
- Invertir el par ordenado. Contar primero hacia arriba es el error más frecuente y casi siempre tiene un distractor esperando, porque (3, 7) y (7, 3) suelen estar los dos entre las opciones.
- Contar cuadros en vez de rayas, o al revés. Se cuenta desde el origen, y cada paso es una raya de la cuadrícula. Empezar a contar en 1 en lugar de en 0 corre todo el resultado una unidad.
- Trasladar solo un vértice. La figura entera se mueve igual. Si movés un vértice y dejás los otros, la figura se deforma y eso ya no es una traslación.
- Cambiar el tamaño sin darse cuenta. Si los lados de la figura nueva no miden lo mismo que los de la vieja, hubo un error de conteo en algún vértice.
- Confundir el movimiento con un reflejo. En la traslación la figura mantiene la orientación. Si en el dibujo quedó volteada, no fue traslación.
- No traducir norte y este a la cuadrícula. En los ítems con rumbos, «tres cuadras al oeste» resta al primer número. Sumar por costumbre manda el punto para el lado contrario.
Clave de análisis
Dos ideas cubren toda esta materia. La primera es que un par ordenado es una instrucción de dos pasos: cuánto a la derecha y cuánto hacia arriba, en ese orden. Si te acordás de que la x es el eje acostado, el orden se recupera solo.
La segunda es que una traslación es el mismo movimiento aplicado a todos los puntos. De ahí sale lo demás sin una regla extra: la figura no cambia de forma ni de tamaño, y para saber dónde quedó basta con seguirle la pista a un vértice y repetir ese movimiento en los otros. La revisión es barata: medí un lado antes y después, y si dio distinto, algo se movió de más.