Triángulos y cuadriláteros: lados, ángulos y vértices

Al terminar vas a poder nombrar los elementos de un triángulo y de un cuadrilátero, deducir cuánto suman sus ángulos internos sin que nadie te lo diga, distinguir un polígono regular de uno irregular, y reconocer las figuras simples que forman una figura complicada.

Qué es un polígono y cuáles son sus piezas

Un polígono es una figura plana y cerrada formada solo por segmentos de recta. «Plana» quiere decir que cabe entera sobre una hoja; «cerrada», que se recorre el borde y se vuelve al punto de partida.

Sus piezas tienen nombre:

• Lado: cada uno de los segmentos rectos del borde.
• Vértice: el punto donde se juntan dos lados.
• Ángulo interno: la abertura que forman dos lados en un vértice, medida hacia adentro.
• Diagonal: el segmento que une dos vértices que no son vecinos.

En todo polígono hay tantos lados como vértices y tantos vértices como ángulos internos. Por eso el nombre se pone contando lados: triángulo 3, cuadrilátero 4, pentágono 5, hexágono 6.

El triángulo y por qué sus ángulos suman 180°

El triángulo tiene 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos internos. No tiene diagonales: como cada vértice es vecino de los otros dos, no queda ningún par sin unir por un lado.

Sus tres ángulos internos suman siempre 180°, sea cual sea su forma o su tamaño.

Hay una manera de convencerse sin instrumentos. Dibujá un triángulo, recortá las tres esquinas y juntá las puntas apoyadas sobre una línea recta: la tapan exactamente. Y una línea recta mide 180°, que es media vuelta.

De ahí sale algo útil: si conocés dos ángulos, el tercero es lo que falta para 180.

El cuadrilátero: 360° y dos diagonales

El cuadrilátero tiene 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos internos, y 2 diagonales, porque cada vértice tiene un solo vértice no vecino.

Sus ángulos internos suman 360°, y eso se deduce del triángulo. Trazá una diagonal: el cuadrilátero queda partido en dos triángulos, y cada uno aporta 180°.

El mismo razonamiento sirve para cualquier polígono. Un pentágono se parte en tres triángulos y suma 540°; un hexágono, en cuatro, y suma 720°. La regla es (cantidad de lados − 2) × 180.

Regulares e irregulares

Un polígono es regular cuando cumple las dos condiciones a la vez: todos sus lados miden igual y todos sus ángulos internos miden igual. Si le falta una, es irregular.

El rombo tiene los cuatro lados iguales y no es regular, porque sus ángulos no lo son. El rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales y tampoco, porque sus lados no lo son. El cuadrado sí cumple las dos.

En un polígono regular el perímetro sale de una multiplicación: un pentágono regular de 7 cm de lado mide 5 × 7 = 35 cm de perímetro.

Figuras simples dentro de una figura compleja

Muchas figuras de la prueba no tienen nombre propio: son figuras compuestas, hechas de figuras conocidas pegadas.

El procedimiento es siempre el mismo: buscar dónde cortar para que queden figuras que sí sabés nombrar. La silueta de una casa se corta en un rectángulo abajo y un triángulo arriba. Una pista de atletismo, en un rectángulo y dos mitades de círculo.

Ejemplos resueltos

1. Un triángulo tiene un ángulo de 40° y otro de 75°. ¿Cuánto mide el tercero? Los tres suman 180°. 40 + 75 = 115, y 180 − 115 = 65°.

2. Un cuadrilátero tiene tres ángulos de 90°, 90° y 70°. ¿Cuánto mide el cuarto? Los cuatro suman 360°. 90 + 90 + 70 = 250, y 360 − 250 = 110°.

3. Un pentágono regular tiene 7 cm de lado. ¿Cuál es su perímetro y cuánto suman sus ángulos internos? Perímetro: los cinco lados son iguales, así que 5 × 7 = 35 cm. Ángulos: el pentágono se parte en 3 triángulos, entonces (5 − 2) × 180 = 540°.

4. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero y por qué el triángulo no tiene ninguna? El cuadrilátero tiene 2: cada vértice se une con el único que no es su vecino. El triángulo tiene 0, porque sus tres vértices son vecinos entre sí y ya están unidos por lados.

5. La pared lateral de una casa es un rectángulo con un triángulo encima, el techo a dos aguas. ¿Cuántos lados tiene esa figura? El rectángulo aporta los dos lados verticales y el de abajo; el de arriba desaparece porque ahí se pegan las figuras. El triángulo aporta sus dos lados inclinados. Son 5 lados: un pentágono irregular.

Los errores que más se cobran

1. Contar un lado como diagonal. El porqué: la diagonal une vértices no vecinos. Si son vecinos, ese segmento ya es un lado.
2. Creer que un rombo es regular porque tiene los lados iguales. El porqué: regular exige lados iguales y ángulos iguales. Con una condición no alcanza.
3. Usar 180° en un cuadrilátero. El porqué: 180 es la suma del triángulo. El cuadrilátero son dos triángulos pegados y va a 360.
4. Sumar el ángulo faltante en lugar de restarlo. El porqué: los ángulos conocidos ya ocupan parte del total, y lo que falta es la resta.
5. Medir el ángulo por fuera de la figura. El porqué: el ángulo interno abre hacia adentro. Con el de afuera la suma no cierra en 180 ni en 360.
6. Cortar la figura compuesta por donde no hay línea. El porqué: el corte tiene que dejar figuras completas y reconocibles.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: nombrar los elementos de triángulos y cuadriláteros y sumar sus ángulos.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Un lado puede ser diagonal? → No: la diagonal une vértices no vecinos
2. Ángulos de 40° y 75°, ¿cuánto mide el tercero? → 65°
3. ¿Cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero? → 360°

Si se traba. Si cuenta lados como diagonales, hágalo trazar solo las uniones entre vértices que no se tocan.

Cinco minutos en la casa. Dibujen un pentágono y que trace todas las diagonales y las cuente.

Clave de análisis

Todo se reconstruye a partir del triángulo. Los tres ángulos de un triángulo suman 180°, y cualquier polígono se corta en triángulos trazando diagonales desde un mismo vértice. Contá en cuántos se parte, multiplicá por 180 y tenés la suma de los ángulos internos.

La segunda clave es la diferencia entre lados, vértices y ángulos: tres cosas distintas y siempre la misma cantidad de cada una. Segmentos, puntos y aberturas.

Y la tercera es la palabra regular, que pide dos condiciones al mismo tiempo. Una figura que cumple una sola es irregular, por más pareja que se vea. Esa es la trampa más repetida de esta parte de la prueba.