Geometría
Los cuerpos sólidos y sus elementos
Al terminar vas a poder distinguir un poliedro de un cuerpo redondo, contar caras, aristas y vértices sin tener el cuerpo en la mano, reconocer qué cuerpo tiene la forma de un objeto de la casa, y decir qué caras de una caja son paralelas y cuáles perpendiculares.
Qué es un cuerpo sólido
Un cuerpo sólido ocupa espacio y por eso tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto. Un cuadrado se dibuja en una hoja; un cubo sobresale de ella.
Se reparten en dos grupos según cómo sea su superficie.
- Poliedros: todas sus caras son planas y con forma de polígono. Un dado, una caja de zapatos.
- Cuerpos redondos: tienen al menos una superficie curva. Una lata de atún, una bola de fútbol.
La palabra que separa los dos grupos es curva. Si cualquier parte del cuerpo se apoya plana sobre la mesa sin dejar hueco, es poliedro.
Los elementos de un poliedro
- Cara: cada una de las superficies planas que lo limitan.
- Arista: el segmento donde se juntan dos caras.
- Vértice: el punto donde se juntan tres o más aristas.
- Base: la cara que le da el nombre y sobre la que se apoya.
- Altura: la distancia entre las dos bases, o entre la base y la punta.
Prismas y pirámides
Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales. En un prisma recto esas caras son rectángulos, uno por cada lado de la base, y el prisma se nombra por su base: triangular, cuadrangular, hexagonal.
El cubo es un prisma con las seis caras cuadradas iguales; la caja de zapatos es un prisma rectangular.
Una pirámide tiene una sola base, y sus caras laterales son triángulos que se juntan arriba en un vértice llamado cúspide.
El conteo de piezas no hay que guardarlo: se deduce del número de lados de la base.
| Cuerpo | Caras | Aristas y vértices |
|---|---|---|
| Cubo | 6 cuadrados | 12 aristas, 8 vértices |
| Prisma triangular | 2 triángulos + 3 rectángulos = 5 | 9 aristas, 6 vértices |
| Pirámide cuadrangular | 1 cuadrado + 4 triángulos = 5 | 8 aristas, 5 vértices |
Mirá cómo sale el prisma triangular: 3 lados por 2 bases son 6 aristas, más 3 verticales que las unen. Los vértices son los 3 de abajo más los 3 de arriba.
Los cuerpos redondos
- Cilindro: dos bases circulares iguales y paralelas, unidas por una superficie curva. No tiene vértices. Una lata de leche condensada.
- Cono: una sola base circular y una superficie curva que termina en un vértice. Un cono de tránsito.
- Esfera: ni caras planas, ni aristas, ni vértices. Todos sus puntos están a la misma distancia del centro. Una bola de fútbol.
El cilindro y el cono no tienen aristas de poliedro: donde la base toca la superficie curva no se juntan dos caras planas. Se trabajan con radio y altura.
Paralelo y perpendicular en un cuerpo
Dos caras son paralelas cuando están enfrentadas y nunca se tocan. Son perpendiculares cuando se cruzan formando ángulo recto.
En una caja de zapatos hay tres pares de caras paralelas: arriba con abajo, frente con atrás, y las dos laterales entre sí. Cada cara lateral es perpendicular a la base, porque se levanta en ángulo recto sobre ella.
Lo mismo se pregunta de las aristas. Una arista es un segmento, y dos segmentos pueden ser paralelos o perpendiculares igual que dos caras. Dos aristas son paralelas cuando llevan la misma dirección y por más que se alarguen nunca se tocan; son perpendiculares cuando se juntan formando ángulo recto.
En un cubo se ve de un vistazo. Sus 12 aristas van en tres direcciones: las que van de frente a fondo, las que van de izquierda a derecha y las que suben. Hay cuatro aristas en cada dirección, y las cuatro de un mismo grupo son paralelas entre sí. Entonces, para cualquier arista que elijás: 3 le son paralelas —las otras tres de su grupo—, 4 le son perpendiculares —las dos que la tocan en cada uno de sus dos extremos— y las 4 restantes ni son paralelas ni la tocan: van en otra dirección pero pasan de largo. Sumadas, 3 + 4 + 4 = 11, que son todas las demás.
La regla corta que resuelve el ítem: en un prisma recto, toda arista vertical es perpendicular a las aristas de la base, porque la cara lateral se levanta en ángulo recto sobre ella. Y las aristas de la base de arriba son paralelas, una por una, a las de la base de abajo.
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un cubo? Es un prisma de base cuadrada con todas las caras iguales. Caras: 2 bases + 4 laterales = 6. Aristas: 4 + 4 + 4 = 12. Vértices: 4 + 4 = 8.
2. Un prisma tiene base triangular. Contá sus piezas. Caras: 2 triángulos + 3 rectángulos = 5. Aristas: 3 + 3 de las bases + 3 verticales = 9. Vértices: 3 + 3 = 6.
3. Una pirámide tiene base cuadrada. Contá sus piezas. Caras: 1 cuadrado + 4 triángulos = 5. Aristas: 4 de la base + 4 que suben a la cúspide = 8. Vértices: 4 + 1 = 5.
4. ¿Qué cuerpo tiene la forma de una lata de leche condensada y cuántos vértices tiene? Dos bases circulares unidas por una superficie curva: es un cilindro. Tiene cero vértices, porque no hay punto donde se junten tres aristas.
5. En una caja de leche, ¿cómo son la cara de arriba y la de abajo, y una lateral con la base? Arriba y abajo son paralelas: enfrentadas y sin cortarse. Una lateral y la base son perpendiculares: se juntan en ángulo recto.
Los errores que más se cobran
- Contar dos veces una arista. El porqué: cada arista pertenece a dos caras. Si contás cara por cara y sumás, el total sale al doble.
- Decir que el cilindro tiene dos vértices. El porqué: el vértice es donde se juntan tres o más aristas, y en el cilindro no hay aristas de ese tipo.
- Confundir prisma con pirámide. El porqué: el prisma tiene dos bases y caras laterales rectangulares; la pirámide tiene una y caras triangulares que terminan en punta.
- Olvidar las bases al contar las caras. El porqué: en el prisma triangular las tres caras que se ven de frente son las laterales, y arriba y abajo hay dos más.
- Confundir cara con lado. El porqué: «lado» es palabra de figura plana y «cara» de cuerpo sólido. La cara de un cubo es un cuadrado, y ese cuadrado sí tiene lados.
- Creer que dos caras que se tocan son paralelas. El porqué: si se tocan, se cortan. Las paralelas están siempre enfrentadas.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: distinguir poliedro de cuerpo redondo y contar caras, aristas y vértices.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene el cubo? → 6, 12 y 8
- ¿Por qué sale el doble si cuenta cara por cara? → Porque cada arista pertenece a dos caras
- ¿La esfera tiene aristas? → No: es un cuerpo redondo
Si se traba. Si duplica las aristas, hágalo marcar cada una con lápiz en un dibujo para no repetir.
Cinco minutos en la casa. Tomen una caja y que cuente caras, aristas y vértices tocándolas.
Clave de análisis
Esta lección se ordena con dos preguntas hechas en orden.
Primera: ¿la superficie es plana o tiene parte curva? Si es toda plana, es poliedro y tiene caras, aristas y vértices contables. Si hay curva, es cuerpo redondo y se describe con radio y altura.
Segunda, dentro de los poliedros: ¿una base o dos? Dos bases iguales y paralelas es prisma; una sola con caras triangulares que suben a un punto es pirámide.
Y para el conteo no hace falta ninguna tabla: mirá cuántos lados tiene la base. En un prisma, ese número da las caras laterales, y las aristas son ese número tres veces —abajo, arriba y las verticales—. En una pirámide da las caras triangulares, y las aristas son ese número dos veces —la base y las que suben—.