Potencias, cuadrados y cubos, y multiplicar o dividir por diez
Al terminar vas a poder calcular una potencia sin calculadora, correr la coma para el lado correcto al multiplicar o dividir entre 10, 100 o 1 000, reconocer cuadrados y cubos perfectos, y predecir si un resultado va a ser mayor o menor que el número de partida.
Qué es una potencia
Una potencia es una multiplicación de factores iguales escrita corto.
En 5³, el 5 es la base —el número que se repite— y el 3 es el exponente —cuántas veces se repite—. Entonces 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
Ojo: el exponente no multiplica a la base. 5³ no es 15.
Dos exponentes tienen nombre propio, porque aparecen todo el tiempo en geometría:
- Cuadrado es el exponente 2, porque 4² es el área de un cuadrado de 4 de lado.
- Cubo es el exponente 3, porque 4³ es el volumen de un cubo de 4 de arista.
Las potencias de diez y la coma
Las potencias de base 10 son especiales: nuestro sistema de numeración está armado sobre ellas.
10¹ = 10 · 10² = 100 · 10³ = 1 000 · 10⁴ = 10 000
El exponente es la cantidad de ceros. Por eso un millón se escribe corto: 10⁶.
Y de ahí sale la regla de la coma. Multiplicar por 10 hace que cada cifra suba un escalón de posición, y eso es correr la coma un lugar a la derecha. Dividir entre 10 la corre un lugar a la izquierda.
| Operación | La coma se corre | Ejemplo |
|---|---|---|
| × 10 | 1 lugar a la derecha | 2,36 × 10 = 23,6 |
| × 1 000 | 3 lugares a la derecha | 2,36 × 1 000 = 2 360 |
| ÷ 100 | 2 lugares a la izquierda | 45 ÷ 100 = 0,45 |
| ÷ 10 000 | 4 lugares a la izquierda | 7 ÷ 10 000 = 0,0007 |
La cantidad de lugares es el exponente, o sea la cantidad de ceros. Si al correr la coma te quedás sin cifras, se rellena con ceros: eso pasó en 7 ÷ 10 000.
Qué pasa cuando el multiplicador es menor que uno
Acá se cae mucha gente, porque arrastra una idea de la escuela: «multiplicar agranda, dividir achica». Eso solo vale con números mayores que uno.
- Por un número mayor que 1 agranda: 40 × 2,5 = 100.
- Por 1 deja igual: 40 × 1 = 40.
- Por un número menor que 1 achica: 40 × 0,5 = 20, la mitad.
Con la división pasa al revés, por una razón concreta: dividir es preguntar cuántas veces cabe, y lo pequeño cabe muchas veces. Por eso 40 ÷ 0,8 = 50, y se comprueba: 0,8 × 50 = 40.
Cuadrados y cubos perfectos
Un cuadrado perfecto se obtiene multiplicando un natural por sí mismo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144. Un cubo perfecto se obtiene multiplicándolo tres veces: 1, 8, 27, 64, 125 y 216.
No hay que guardar esas listas: se reconstruyen multiplicando 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 y así seguido. El 64 está en las dos, porque 8² = 64 y 4³ = 64.
Para saber si 196 es cuadrado perfecto, probá: 13 × 13 = 169, muy poco; 14 × 14 = 196, exacto. Sí lo es.
Ejemplos resueltos
1. Calculá 2,36 × 1 000. Mil es 10³, así que la coma corre tres lugares a la derecha. 2,36 → 23,6 → 236 → 2 360, agregando un cero porque se acabaron las cifras.
2. Calculá 7 ÷ 10 000. Diez mil es 10⁴: la coma corre cuatro lugares a la izquierda. El 7 tiene la coma escondida a su derecha, y corriéndola cuatro lugares queda 0,0007.
3. Un lote cuadrado mide 15 m de lado. ¿Cuál es su área? El área de un cuadrado es lado por lado, o sea 15² = 15 × 15 = 225 m².
4. ¿Cuánto es 5³ y cuánto es 12²? 5³ = 5 × 5 × 5: primero 25, después 25 × 5 = 125. 12² = 12 × 12 = 144.
5. Un puesto de la feria envasa miel en frascos de 0,8 litros. ¿Cuántos frascos se llenan con 40 litros? Es cuántas veces cabe 0,8 en 40, o sea una división: 40 ÷ 0,8. Como 0,8 × 50 = 40, se llenan 50 frascos. Fijate: se dividió y el resultado quedó mayor que 40, cosa que pasa siempre que se divide entre un número menor que uno.
Los errores que más se cobran
- Multiplicar la base por el exponente. Decir que 5³ = 15. El porqué: el exponente cuenta factores, no es un factor. Si dudás, escribí la multiplicación entera.
- Correr la coma para el lado equivocado. El porqué: multiplicar agranda, y un número más grande tiene la coma más a la derecha. Preguntate si el resultado debe crecer antes de moverla.
- Contar mal los lugares. El porqué: se cuentan los ceros del multiplicador, no sus cifras. 100 tiene tres cifras y dos ceros: se corren dos lugares.
- No rellenar con ceros. El porqué: si la coma corre cuatro lugares y solo hay uno disponible, los otros tres se completan con ceros.
- Esperar que multiplicar siempre agrande. El porqué: multiplicar por 0,5 es tomar la mitad, y la mitad es menos.
- Confundir cuadrado con doble y cubo con triple. El porqué: el doble de 7 es 14 y su cuadrado es 49. Son operaciones distintas.
Clave de análisis
Todo esto sale de dos ideas, y ninguna es una lista.
La primera: la potencia cuenta factores repetidos, y por eso el exponente de una potencia de diez cuenta los ceros. Con eso armás cualquier potencia de diez y sabés cuántos lugares corre la coma.
La segunda: el sistema es posicional, así que multiplicar por diez sube todo un escalón y dividir lo baja. La coma no se mueve porque sí: se mueve porque las cifras cambiaron de lugar.
Y llevate una pregunta de control: ¿el resultado tiene que ser mayor o menor que el número de partida? Esa pregunta atrapa el error de la coma antes que el examen.