Números
Potencias, cuadrados y cubos, y multiplicar o dividir por diez
Al terminar vas a poder calcular una potencia sin calculadora, correr la coma para el lado correcto al multiplicar o dividir entre 10, 100 o 1 000, reconocer cuadrados y cubos perfectos, y predecir si un resultado va a ser mayor o menor que el número de partida.
Qué es una potencia
Una potencia es una multiplicación de factores iguales escrita corto.
En 5³, el 5 es la base —el número que se repite— y el 3 es el exponente —cuántas veces se repite—. Entonces 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
Ojo: el exponente no multiplica a la base. 5³ no es 15.
Dos exponentes tienen nombre propio, porque aparecen todo el tiempo en geometría:
- Cuadrado es el exponente 2, porque 4² es el área de un cuadrado de 4 de lado.
- Cubo es el exponente 3, porque 4³ es el volumen de un cubo de 4 de arista.
Las potencias de diez y la coma
Las potencias de base 10 son especiales: nuestro sistema de numeración está armado sobre ellas.
10¹ = 10 · 10² = 100 · 10³ = 1 000 · 10⁴ = 10 000
El exponente es la cantidad de ceros. Por eso un millón se escribe corto: 10⁶.
Y de ahí sale la regla de la coma. Multiplicar por 10 hace que cada cifra suba un escalón de posición, y eso es correr la coma un lugar a la derecha. Dividir entre 10 la corre un lugar a la izquierda.
| Operación | La coma se corre | Ejemplo |
|---|---|---|
| × 10 | 1 lugar a la derecha | 2,36 × 10 = 23,6 |
| × 1 000 | 3 lugares a la derecha | 2,36 × 1 000 = 2 360 |
| ÷ 100 | 2 lugares a la izquierda | 45 ÷ 100 = 0,45 |
| ÷ 10 000 | 4 lugares a la izquierda | 7 ÷ 10 000 = 0,0007 |
La cantidad de lugares es el exponente, o sea la cantidad de ceros. Si al correr la coma te quedás sin cifras, se rellena con ceros: eso pasó en 7 ÷ 10 000.
Qué pasa cuando el multiplicador es menor que uno
Acá se cae mucha gente, porque arrastra una idea de la escuela: «multiplicar agranda, dividir achica». Eso solo vale con números mayores que uno.
- Por un número mayor que 1 agranda: 40 × 2,5 = 100.
- Por 1 deja igual: 40 × 1 = 40.
- Por un número menor que 1 achica: 40 × 0,5 = 20, la mitad.
Con la división pasa al revés, por una razón concreta: dividir es preguntar cuántas veces cabe, y lo pequeño cabe muchas veces. Por eso 40 ÷ 0,8 = 50, y se comprueba: 0,8 × 50 = 40.
Cuadrados y cubos perfectos
Un cuadrado perfecto se obtiene multiplicando un natural por sí mismo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144. Un cubo perfecto se obtiene multiplicándolo tres veces: 1, 8, 27, 64, 125 y 216.
No hay que guardar esas listas: se reconstruyen multiplicando 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 y así seguido. El 64 está en las dos, porque 8² = 64 y 4³ = 64.
Para saber si 196 es cuadrado perfecto, probá: 13 × 13 = 169, muy poco; 14 × 14 = 196, exacto. Sí lo es.
Ejemplos resueltos
1. Calculá 2,36 × 1 000. Mil es 10³, así que la coma corre tres lugares a la derecha. 2,36 → 23,6 → 236 → 2 360, agregando un cero porque se acabaron las cifras.
2. Calculá 7 ÷ 10 000. Diez mil es 10⁴: la coma corre cuatro lugares a la izquierda. El 7 tiene la coma escondida a su derecha, y corriéndola cuatro lugares queda 0,0007.
3. Un lote cuadrado mide 15 m de lado. ¿Cuál es su área? El área de un cuadrado es lado por lado, o sea 15² = 15 × 15 = 225 m².
4. ¿Cuánto es 5³ y cuánto es 12²? 5³ = 5 × 5 × 5: primero 25, después 25 × 5 = 125. 12² = 12 × 12 = 144.
5. Un puesto de la feria envasa miel en frascos de 0,8 litros. ¿Cuántos frascos se llenan con 40 litros? Es cuántas veces cabe 0,8 en 40, o sea una división: 40 ÷ 0,8. Como 0,8 × 50 = 40, se llenan 50 frascos. Fijate: se dividió y el resultado quedó mayor que 40, cosa que pasa siempre que se divide entre un número menor que uno.
Los errores que más se cobran
- Multiplicar la base por el exponente. Decir que 5³ = 15. El porqué: el exponente cuenta factores, no es un factor. Si dudás, escribí la multiplicación entera.
- Correr la coma para el lado equivocado. El porqué: multiplicar agranda, y un número más grande tiene la coma más a la derecha. Preguntate si el resultado debe crecer antes de moverla.
- Contar mal los lugares. El porqué: se cuentan los ceros del multiplicador, no sus cifras. 100 tiene tres cifras y dos ceros: se corren dos lugares.
- No rellenar con ceros. El porqué: si la coma corre cuatro lugares y solo hay uno disponible, los otros tres se completan con ceros.
- Esperar que multiplicar siempre agrande. El porqué: multiplicar por 0,5 es tomar la mitad, y la mitad es menos.
- Confundir cuadrado con doble y cubo con triple. El porqué: el doble de 7 es 14 y su cuadrado es 49. Son operaciones distintas.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: calcular potencias y correr la coma al multiplicar por diez.
Tres preguntas para hacerle
- ¿5³ es 15? → No: es 125; el exponente cuenta factores
- 2,36 × 1 000, ¿cuánto da? → 2 360
- 7 ÷ 10 000, ¿cuánto da? → 0,0007
Si se traba. Si multiplica la base por el exponente, pídale que escriba la multiplicación completa.
Cinco minutos en la casa. Que calcule cuántos metros cuadrados tiene un lote cuadrado de la cuadra.
Clave de análisis
Todo esto sale de dos ideas, y ninguna es una lista.
La primera: la potencia cuenta factores repetidos, y por eso el exponente de una potencia de diez cuenta los ceros. Con eso armás cualquier potencia de diez y sabés cuántos lugares corre la coma.
La segunda: el sistema es posicional, así que multiplicar por diez sube todo un escalón y dividir lo baja. La coma no se mueve porque sí: se mueve porque las cifras cambiaron de lugar.
Y llevate una pregunta de control: ¿el resultado tiene que ser mayor o menor que el número de partida? Esa pregunta atrapa el error de la coma antes que el examen.