Fracciones equivalentes y la recta numérica

Al terminar vas a poder generar fracciones equivalentes a una dada, comprobar con una multiplicación si dos fracciones valen lo mismo, ubicar una fracción en la recta numérica, y decir entre cuáles dos números naturales cae una fracción impropia.

Dos escrituras, un mismo valor

Media botella y dos cuartos de botella son la misma cantidad de líquido, y sin embargo se escriben distinto: 1/2 y 2/4.

Eso es una fracción equivalente: dos fracciones escritas con números distintos que representan la misma cantidad.

Lo que cambia entre 1/2 y 2/4 no es cuánto hay, sino en cuántos pedazos está partido. Si partís cada mitad por el medio tenés el doble de pedazos, cada uno de la mitad de tamaño.

Cómo se fabrica una equivalente

Hay un solo procedimiento, con dos direcciones.

Amplificar: multiplicar numerador y denominador por el mismo número natural. Partiendo de 2/5:

• por 2 → 4/10
• por 3 → 6/15
• por 4 → 8/20

Las cuatro valen lo mismo: 2 ÷ 5 = 0,4; 4 ÷ 10 = 0,4; 6 ÷ 15 = 0,4; 8 ÷ 20 = 0,4.

Simplificar: dividir numerador y denominador por el mismo número, cuando los dos lo admitan. De 45/60, dividiendo entre 15, sale 3/4.

Cuando ya no queda ningún número mayor que 1 que divida a los dos, la fracción está en su forma irreducible, y esa es la que la prueba espera.

El porqué de las dos operaciones es el mismo: multiplicar arriba y abajo por el mismo número es multiplicar por uno disfrazado, porque 3/3, 5/5 y 15/15 valen 1.

Cómo se comprueba que dos fracciones son equivalentes

Con el producto cruzado: se multiplica el numerador de cada una por el denominador de la otra. Si los dos resultados coinciden, son equivalentes.

Con 12/18 y 2/3: 12 × 3 = 36 y 18 × 2 = 36, así que son equivalentes.

Con 3/5 y 5/8: 3 × 8 = 24 y 5 × 5 = 25. No coinciden, así que no lo son.

La recta numérica

La recta numérica es una línea donde los números van en orden, de menor a mayor, con la misma distancia entre naturales consecutivos.

Para ubicar una fracción van dos pasos:

1. El denominador dice en cuántas partes se divide el tramo entre dos naturales seguidos. Para octavos, el tramo de 0 a 1 se parte en 8.
2. El numerador dice cuántas marcas hay que contar desde el 0.

Para 5/8: el tramo de 0 a 1 partido en ocho, contando cinco marcas. Queda pasada la mitad, porque la mitad exacta de ese tramo es 4/8.

Esa comparación sirve siempre de control: si el numerador es más de la mitad del denominador, la fracción pasa de la mitad.

Entre cuáles naturales cae una fracción

Cuando la fracción es impropia, el punto ya no está entre 0 y 1. Se multiplica el denominador por naturales seguidos hasta pasarse.

Con 23/7: 7 × 3 = 21 y 7 × 4 = 28. Como 23 cae entre 21 y 28, la fracción está entre 3 y 4.

Es el mismo trabajo de la división: 23 ÷ 7 da 3 y sobran 2. El cociente es el natural de la izquierda.

Ejemplos resueltos

1. Escribí tres fracciones equivalentes a 2/5. Multiplico arriba y abajo por 2, por 3 y por 4. 4/10, 6/15 y 8/20. Comprobación: las cuatro dan 0,4 al dividir.

2. ¿Es 12/18 equivalente a 2/3? Producto cruzado: 12 × 3 = 36 y 18 × 2 = 36. Coinciden, así que sí. Otra vía: 12/18 dividido arriba y abajo entre 6 da 2/3.

3. Simplificá 45/60 hasta su forma irreducible. Los dos terminan en cifra divisible entre 5: 45 ÷ 5 = 9 y 60 ÷ 5 = 12, queda 9/12. Los dos se dividen entre 3: queda 3/4, y ahí ya no hay divisor común.

4. ¿Entre cuáles naturales consecutivos está 23/7? 7 × 3 = 21, que no llega a 23. 7 × 4 = 28, que se pasa. Está entre 3 y 4, más cerca de 3, porque 23 apenas pasa de 21.

5. En una recta de 0 a 1 dividida en cuatro partes iguales, ¿qué fracción marca el tercer punto después del 0? Cada marca vale un cuarto, así que el tercer punto es 3/4, que también se escribe 6/8 o 9/12.

Los errores que más se cobran

1. Sumar el mismo número arriba y abajo en vez de multiplicar. Decir que 2/5 equivale a 3/6. El porqué: sumar cambia la proporción. 2 ÷ 5 = 0,4 y 3 ÷ 6 = 0,5.
2. Simplificar a medias. Dejar 9/12 cuando todavía se divide entre 3. El porqué: la respuesta suele estar en forma irreducible, y 9/12 no aparece entre las opciones.
3. Cruzar mal los productos. El porqué: cada numerador se multiplica por el denominador de la otra fracción, nunca por el propio.
4. Dividir el tramo equivocado de la recta. El porqué: el denominador parte el tramo entre dos naturales seguidos, no la recta entera. Para 7/4 hay que contar cuartos después del 1.
5. Contar marcas en vez de saltos. El porqué: lo que se cuenta son los saltos desde el 0. Un tramo partido en cuatro tiene tres marcas interiores.
6. Creer que una fracción con números más grandes vale más. El porqué: 8/20 y 2/5 valen lo mismo. El tamaño de las cifras no dice nada del valor.

Clave de análisis

La idea que reconstruye toda la lección es esta: multiplicar o dividir arriba y abajo por el mismo número es multiplicar por uno, y el uno nunca cambia una cantidad. De ahí sale que amplificar y simplificar den fracciones equivalentes, y también que funcione el producto cruzado.

Para la recta numérica la clave es otra frase corta: el denominador parte, el numerador cuenta. Partís el tramo que va de un natural al siguiente y contás tantas marcas como diga el numerador. Si la fracción es impropia, la división te dice en qué tramo empezar.

Y tené a mano dos referencias: la mitad —el numerador es la mitad del denominador— y el entero —numerador igual al denominador—. Con esos dos puntos, cualquier fracción se coloca por comparación.