Números
Múltiplos, divisores, primos y las reglas de divisibilidad
Al terminar vas a poder decir si un número es múltiplo o divisor de otro, decidir sin dividir si se puede repartir entre 2, 3, 5 o 10, distinguir un primo de un compuesto, y usar los divisores para resolver problemas de reparto.
Múltiplo y divisor son la misma relación vista de los dos lados
Empecemos por un hecho: 5 × 4 = 20.
De ahí salen dos palabras. 20 es múltiplo de 5, porque se obtuvo multiplicando 5 por un natural. Y 5 es divisor de 20, porque cabe en 20 una cantidad exacta de veces.
Múltiplo y divisor no son dos temas: son la misma relación mirada desde arriba o desde abajo.
Los múltiplos son infinitos: los de 7 son 7, 14, 21, 28, 35 y así sin parar. Los divisores se acaban: los de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20. La palabra factor significa lo mismo que divisor.
Pares e impares
Un número es par si se puede repartir en dos grupos iguales sin que sobre, o sea si es múltiplo de 2. Es impar si al repartirlo entre dos sobra uno.
Se reconoce con la última cifra: par si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Las demás no importan, porque decenas, centenas y millares ya son múltiplos de 2.
Las reglas de divisibilidad, y por qué funcionan
Un número es divisible entre otro cuando la división es exacta, sin residuo. Hay cuatro casos que se deciden de un vistazo.
| Divisible entre | Se reconoce en | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | termina en 0, 2, 4, 6 u 8 | 3 574 |
| 5 | termina en 0 o en 5 | 8 235 |
| 10 | termina en 0 | 4 900 |
| 3 | la suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 4 728 |
Las tres primeras salen del mismo argumento: 10, 100 y 1 000 son múltiplos de 2, de 5 y de 10. Todo lo que está a la izquierda de las unidades ya se reparte exacto.
La del 3 no es magia. Mirá que 10 = 9 + 1, que 100 = 99 + 1 y que 1 000 = 999 + 1. Como 9, 99 y 999 son múltiplos de 3, de cada posición solo puede sobrar la cifra misma, y por eso se suman.
Primos y compuestos
Un número es primo cuando tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Es compuesto cuando tiene más de dos. El 1 no es ninguna de las dos cosas: tiene un solo divisor.
Los primos menores que 30 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. No hay que guardarlos como lista: se reconstruyen tachando los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 7. Lo que queda sin tachar es primo.
El 2 es el único primo par: cualquier otro número par tiene al 2 como divisor extra, así que ya tiene tres.
Ejemplos resueltos
1. ¿Es 4 728 divisible entre 3? Sumo las cifras: 4 + 7 + 2 + 8 = 21, que es múltiplo de 3, así que sí. Comprobación: 3 × 1 576 = 4 728.
2. Escribí todos los divisores de 24. Pruebo en parejas: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6. El 5 no cabe exacto y de ahí en adelante se repiten. Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Son ocho: 24 es compuesto.
3. ¿Es 51 primo? Sumo sus cifras: 5 + 1 = 6, múltiplo de 3, así que el 3 lo divide. 51 = 3 × 17, o sea cuatro divisores. Es compuesto, aunque parezca primo.
4. ¿Cuáles múltiplos de 7 hay entre 40 y 70? Multiplico 7 por naturales seguidos: 42, 49, 56, 63 y 70. Son esos cinco, porque 7 × 5 = 35 no llega a 40.
5. Una pulpería quiere acomodar 60 botellas en cajas iguales, sin que sobre ninguna, con entre 6 y 15 botellas por caja. ¿Qué tamaños sirven? «Sin que sobre ninguna» significa que el tamaño de la caja tiene que ser divisor de 60. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60. Entre 6 y 15 quedan 6, 10, 12 y 15.
Los errores que más se cobran
- Cambiar múltiplo por divisor. Decir que 5 es múltiplo de 20. El porqué: el múltiplo es el grande, el que se obtuvo multiplicando. El divisor es el que cabe adentro.
- Sumar las cifras para probar divisibilidad entre 2 o entre 5. El porqué: la suma solo sirve para el 3. Para 2, 5 y 10 manda la última cifra.
- Contar el 1 como primo. El porqué: la definición pide dos divisores distintos y el 1 tiene uno solo.
- Olvidar el 1 y el número mismo al listar divisores. El porqué: todo número se divide exacto entre esos dos. Sin ellos, la lista queda incompleta.
- Dar por primo a 51, 57 o 91. El porqué: 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 y 91 = 7 × 13. Antes de declarar primo hay que probar 2, 3, 5 y 7.
- Confundir divisible con dividir dejando residuo. El porqué: si sobra algo, no es divisible. 4 729 ÷ 3 deja residuo 1, aunque 4 728 sí sea múltiplo de 3.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: decidir múltiplos, divisores y divisibilidad sin dividir.
Tres preguntas para hacerle
- ¿5 es múltiplo de 20? → No: es divisor; el múltiplo es el grande
- ¿4 728 es divisible entre 3? → Sí: sus cifras suman 21
- ¿51 es primo? → No: es 3 por 17
Si se traba. Si cambia múltiplo por divisor, pregúntele cuál de los dos números salió de multiplicar.
Cinco minutos en la casa. Tomen el número de la casa y que diga entre cuáles se puede repartir.
Clave de análisis
Todo el tema se sostiene en una frase: la división exacta es la que no deja residuo. Múltiplo, divisor, factor, par, impar, primo y compuesto nombran quién divide exacto a quién.
Las reglas de divisibilidad se reconstruyen preguntando qué parte del número ya se reparte sola. Para el 2, el 5 y el 10 se reparte todo menos las unidades. Para el 3, todo menos las cifras sueltas.
Y en los problemas de reparto, la señal es «sin que sobre» o «en partes iguales»: esas palabras piden divisores, y los divisores se encuentran probando en parejas hasta que se repiten.