Números
La notación desarrollada y el valor de cada cifra
Al terminar vas a poder escribir cualquier número en notación desarrollada, hacer esa misma escritura con potencias de base diez, y reconstruir el número cuando lo que te dan es la suma desarmada.
Qué significa «desarrollar» un número
Desarrollar un número es escribirlo como la suma de lo que vale cada una de sus cifras.
El número 47 328 se lee de corrido, pero por dentro son cinco cantidades sumadas:
47 328 = 40 000 + 7 000 + 300 + 20 + 8
Comprobalo: 40 000 + 7 000 son 47 000; más 300, 47 300; más 20, 47 320; más 8, 47 328.
La notación desarrollada no cambia el número: muestra que un número escrito de corrido es en realidad una suma de posiciones.
De dónde sale cada sumando
Cada cifra aporta su valor multiplicado por lo que vale su posición. En 47 328 el 3 está en las centenas, así que aporta 3 × 100 = 300. El 4 está en las decenas de millar y aporta 4 × 10 000 = 40 000.
Las posiciones vacías no se escriben. En 205 060 el desarrollo es 200 000 + 5 000 + 60: las decenas de millar, las centenas y las unidades tienen cero, y cero por cualquier cosa es cero.
La misma idea con potencias de diez
Una potencia es una multiplicación repetida escrita corto: 10³ significa 10 × 10 × 10, o sea 1 000. El exponente —el número pequeño de arriba— dice cuántas veces se multiplica el 10 por sí mismo.
| Potencia | Multiplicación | Vale |
|---|---|---|
| 10⁰ | — | 1 |
| 10¹ | 10 | 10 |
| 10² | 10 × 10 | 100 |
| 10³ | 10 × 10 × 10 | 1 000 |
| 10⁴ | 10 × 10 × 10 × 10 | 10 000 |
Fijate en el patrón: el exponente es la cantidad de ceros. Y 10⁰ = 1 no es un capricho: bajando de escalón siempre se divide entre 10, así que después de 1 000, 100 y 10 viene 1.
Entonces el desarrollo de 47 328 con potencias queda así:
47 328 = 4 × 10⁴ + 7 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10¹ + 8 × 10⁰
Comprobación: 40 000 + 7 000 + 300 + 20 + 8 = 47 328.
Y sale sola una regla cómoda: el exponente de la primera cifra es la cantidad de cifras menos uno. En un número de cinco cifras, la primera va con 10⁴.
Desarrollar un decimal
A la derecha de la coma el valor de cada posición se divide entre diez, así que los sumandos son décimas, centésimas y milésimas.
63,405 = 60 + 3 + 0,4 + 0,005
O con fracciones decimales, que es como lo pide a veces la prueba: 60 + 3 + 4/10 + 5/1 000.
Las centésimas no aparecen porque en esa posición hay un cero.
Ejemplos resueltos
1. Escribí 205 060 en notación desarrollada. El 2 está en las centenas de millar: 200 000. El 5 está en las unidades de millar: 5 000. El 6 está en las decenas: 60. 205 060 = 200 000 + 5 000 + 60. Comprobación: 200 000 + 5 000 + 60 = 205 060.
2. Escribí ese mismo número con potencias de base diez. 200 000 es 2 × 10⁵; 5 000 es 5 × 10³; 60 es 6 × 10¹. 205 060 = 2 × 10⁵ + 5 × 10³ + 6 × 10¹.
3. ¿Qué número es 3 × 10⁴ + 9 × 10² + 4 × 10⁰? 3 × 10 000 = 30 000; 9 × 100 = 900; 4 × 1 = 4. 30 000 + 900 + 4 = 30 904. Los ceros del medio ocupan las posiciones que no aparecen en la suma: millares y decenas.
4. Desarrollá 8,27. El 8 son unidades; el 2 son décimas; el 7 son centésimas. 8,27 = 8 + 0,2 + 0,07, o bien 8 + 2/10 + 7/100.
5. Un recibo marca un consumo de 1 204 kWh. ¿Cuál es el valor posicional del 2? El 2 está en las centenas, así que vale 2 × 10² = 200. El desarrollo completo es 1 × 10³ + 2 × 10² + 4 × 10⁰.
Los errores que más se cobran
- Escribir la cifra en vez de su valor. Poner «4 + 7 + 3 + 2 + 8» para 47 328. El porqué: el desarrollo no separa cifras, separa cantidades. Cada cifra se multiplica por lo que vale su posición.
- Meter los ceros como sumandos. El porqué: cero no aporta nada a la suma, y la prueba espera el desarrollo limpio.
- Equivocar el exponente por uno. Escribir 4 × 10⁵ para un número de cinco cifras. El porqué: el exponente cuenta ceros, no cifras. 10⁵ ya son seis cifras.
- Creer que 10⁰ es cero. El porqué: el exponente dice cuántas veces se multiplica el diez, y cero veces deja el 1 de partida.
- Perder la posición de un decimal. Escribir 63,405 como 60 + 3 + 0,4 + 0,05. El porqué: el 5 está en las milésimas, así que vale 0,005.
- Sumar mal al reconstruir. El porqué: los sumandos van uno debajo del otro, alineados por la última cifra.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: escribir un número en notación desarrollada y con potencias de diez.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Se separan cifras o cantidades? → Cantidades: cada cifra vale según su lugar
- ¿Cómo se desarrolla 205 060? → 200 000 + 5 000 + 60
- ¿Qué número es 3 × 10⁴ + 9 × 10² + 4? → 30 904
Si se traba. Si escribe las cifras sueltas, pregúntele cuánto vale el 4 de 47 328: no vale cuatro.
Cinco minutos en la casa. Escriba un número de seis cifras y que lo desarrolle, y después lo reconstruya.
Clave de análisis
La notación desarrollada no es una forma nueva de escribir: es el sistema posicional dicho en voz alta. Si te acordás de que cada posición vale diez veces la de su derecha, armás el desarrollo de cualquier número y también lo rehacés al revés.
Para la versión con potencias alcanza una frase: el exponente cuenta los ceros. Y al reconstruir el número desde la suma, cuidá que toda posición sin sumando se llene con un cero: ese cero sostiene a las cifras de su izquierda en el lugar que les toca.