Patrones en sucesiones de figuras y de números

Al terminar vas a poder descubrir la regla que arma una sucesión de números o de figuras, explicar por qué conviene buscar la diferencia antes que cualquier otra cosa, calcular un término lejano sin escribir todos los anteriores, y distinguir un patrón que suma de uno que multiplica.

Qué es una sucesión y qué es su patrón

Una sucesión es una lista de números o de figuras puestos en un orden. Cada elemento se llama término, y el lugar que ocupa es su posición: primero, segundo, tercero.

El patrón es la regla que dice cómo se pasa de un término al siguiente. Encontrar el patrón es todo el trabajo: una vez que lo tenés, la sucesión sigue sola.

Un patrón no es una corazonada. Es una regla que se cumple en todos los pasos que te dieron, sin una sola excepción. Si funciona con los tres primeros y falla con el cuarto, no era el patrón.

Lo primero que se prueba: la diferencia

Ante una sucesión de números, el primer movimiento es siempre el mismo: restá cada término del siguiente.

En 4, 7, 10, 13: 7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3, 13 − 10 = 3. La diferencia es siempre 3, así que el patrón es «sumar 3».

Cuando la diferencia se repite, la sucesión se llama aritmética y se sigue sumando ese número. Si la sucesión baja, la diferencia es la misma idea pero restando: en 90, 83, 76, 69 se resta 7 cada vez.

Cuando la diferencia no se repite: probá el cociente

Si las diferencias salen distintas, el segundo movimiento es dividir cada término entre el anterior.

En 3, 6, 12, 24: 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2. Siempre 2, así que el patrón es «multiplicar por 2».

Fijate en la pista que da el crecimiento. Una sucesión que suma crece parejo. Una que multiplica crece cada vez más rápido: de 3 a 6 suben 3, pero de 12 a 24 suben 12.

Llegar a un término lejano sin escribir todos

Si te piden el término que está en la posición 20, escribir los veinte es lento y se presta a error. Con una sucesión que suma hay una cuenta corta.

Del primer término al segundo hay un salto. Del primero al quinto hay cuatro. Entonces, del primero al término de la posición n hay n − 1 saltos.

término = primer término + (posición − 1) × diferencia

No hay que aceptarla de fe: probala con algo corto. En 4, 7, 10, 13, el cuarto término por la cuenta es 4 + 3 × 3 = 13, y efectivamente el cuarto es 13.

Patrones con figuras: hay que contar antes de mirar

En las sucesiones de figuras la regla no está en el dibujo, está en cuántas piezas tiene cada figura. El paso uno es contar y escribir esos números, y ahí el problema se vuelve numérico.

Por ejemplo, unas mesas cuadradas puestas en fila para una fiesta comunal. Una mesa sola sienta 4 personas. Dos mesas juntas sientan 6, porque los dos lados pegados se pierden. Tres mesas sientan 8.

La lista es 4, 6, 8, y la diferencia es 2: cada mesa nueva agrega dos puestos. Con eso se responde cualquier cantidad de mesas sin dibujar nada.

Ejemplos resueltos

1. ¿Cuál es el término que sigue en 4, 7, 10, 13? Diferencias: 3, 3 y 3. El patrón es sumar 3. 13 + 3 = 16.

2. En la misma sucesión, ¿cuál es el término de la posición 10? Primer término 4, diferencia 3, posición 10. Saltos: 10 − 1 = 9. 4 + 9 × 3 = 4 + 27 = 31.

3. ¿Cuál es el término que sigue en 3, 6, 12, 24? Las diferencias son 3, 6 y 12: no se repiten, así que pruebo cocientes. 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2. El patrón es multiplicar por 2. 24 × 2 = 48.

4. Con mesas en fila, una sienta 4 personas, dos sientan 6 y tres sientan 8. ¿Cuántas sientan 10 mesas? La lista es 4, 6, 8, con diferencia 2. Saltos hasta la posición 10: 10 − 1 = 9. 4 + 9 × 2 = 4 + 18 = 22 personas.

Los errores que más se cobran

1. Sacar el patrón de un solo par de términos. Entre 2 y 4 puede haber «sumar 2» o «multiplicar por 2». Hay que probar la regla con todos los pasos dados antes de usarla.
2. Confundir la posición con el término. El término de la posición 5 no es el número 5: es el valor que ocupa ese lugar.
3. Multiplicar la diferencia por la posición en vez de por la posición menos uno. Del primer término al décimo hay nueve saltos, no diez. Es el error más caro de la fórmula corta.
4. No probar el cociente cuando la diferencia falla. Muchos abandonan al ver diferencias distintas, y la sucesión era de multiplicar.
5. Mirar el dibujo en vez de contar. En los patrones de figuras, la regla aparece cuando se escribe cuántas piezas tiene cada una. Sin ese conteo se adivina.
6. Suponer que la sucesión siempre crece. Hay patrones que restan o que dividen, y el signo de la diferencia lo dice de una vez.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: descubrir la regla de una sucesión y comprobarla en todos los pasos.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Basta con un par de términos? → No: hay que probar la regla en toda la serie
2. En 4, 7, 10, 13, ¿qué sigue? → 16
3. En 3, 6, 12, 24, ¿cuál es la regla? → Multiplicar por 2

Si se traba. Si saca la regla del primer par, pídale que la compruebe en el tercero y el cuarto término.

Cinco minutos en la casa. Arme una serie con cubiertos o monedas y que descubra la regla y siga dos términos.

Clave de análisis

Una sucesión se descifra con un orden de pruebas, no con inspiración. Primero la diferencia, después el cociente, y solo al final algo más raro. Ese orden funciona porque los dos primeros casos cubren casi todo lo que aparece en la prueba.

La pregunta que ordena el trabajo es: ¿qué le hago a un término para conseguir el siguiente? Si la respuesta es «le sumo siempre lo mismo», ya está; si es «lo multiplico siempre por lo mismo», también.

Y para los términos lejanos, en vez de acordarte de una fórmula, reconstruila contando saltos. Del primero al de la posición n hay n − 1 saltos, y cada salto vale la diferencia. Si la cuenta reproduce un término que ya tenés a la vista, sirve para cualquier otro.