Cuando una cantidad depende de otra
Al terminar vas a poder distinguir una cantidad constante de una variable, escribir con una expresión cómo depende una cantidad de otra, llenar y leer una tabla de variación, ubicar en el plano los puntos que cumplen una relación, y usar la escala de un croquis para sacar medidas reales.
Constante y variable: la distinción que abre el tema
Una cantidad es constante cuando no cambia en toda la situación. Es variable cuando toma valores distintos según el caso.
En una pulpería, el precio de un kilo de arroz es constante: vale lo mismo a quien compre uno o diez. La cantidad de kilos de cada cliente es variable, y el total que paga también.
La pregunta que separa las dos es: ¿este número cambia dentro del mismo problema? Si cambia, es variable. Si no, es constante.
Cuidado con una trampa del examen. «El precio de la bolsa de confites de 2 kg» es constante: es un solo producto. «El precio de las distintas bolsas que vende el súper» es variable: hay varios precios.
Escribir la relación como una expresión
Cuando una cantidad depende de otra, la relación se escribe con una expresión matemática: una regla que dice qué hacerle a la primera cantidad para obtener la segunda.
Pensá en un taller que cobra ₡5 000 fijos por revisar una moto y ₡2 500 por cada hora de trabajo. Si las horas son h, el total es:
total = 5 000 + 2 500 × h
Los dos números tienen papeles distintos. El 5 000 se suma una sola vez, porque se cobra aunque el trabajo dure un rato. El 2 500 se multiplica, porque se repite en cada hora.
La tabla de variación simultánea
Una tabla de variación pone lado a lado los valores de las dos cantidades. Se llena aplicando la expresión, un renglón a la vez.
| horas de trabajo | total en colones |
|---|---|
| 1 | 7 500 |
| 2 | 10 000 |
| 3 | 12 500 |
| 4 | 15 000 |
Leyendo la segunda columna se ve el comportamiento: cada hora que pasa suma ₡2 500. Esa diferencia constante entre renglones seguidos es la huella de la multiplicación de la expresión.
La tabla también sirve al revés: si alguien pagó ₡12 500, se busca ese valor y se lee al lado que fueron 3 horas.
Los puntos del plano que cumplen la relación
Cada renglón de la tabla es un par ordenado y se puede dibujar en una cuadrícula. El primer número es la cantidad de la que se parte y el segundo es el resultado.
Los puntos de arriba son (1, 7 500), (2, 10 000), (3, 12 500) y (4, 15 000). Un punto como (2, 9 000) no cumple la relación, porque con 2 horas el total es 10 000.
Para revisar si un punto pertenece a la relación no hace falta dibujar: se mete el primer número en la expresión y se compara con el segundo.
La escala: un croquis es la realidad encogida
Una escala dice cuánto representa cada unidad del dibujo en el mundo real. Si un croquis está a escala 1 cm : 150 cm, cada centímetro del papel son 150 centímetros de la casa.
Es la misma idea: la escala es la constante que une las dos medidas. Del dibujo a la realidad se multiplica; de la realidad al dibujo se divide.
Ejemplos resueltos
1. En el taller del ejemplo, ¿cuánto cobran por 6 horas? Aplico la expresión: 5 000 + 2 500 × 6. 2 500 × 6 = 15 000, y 15 000 + 5 000 = ₡20 000.
2. Una persona pagó ₡17 500 en ese taller. ¿Cuántas horas trabajaron? Le quito el cobro fijo: 17 500 − 5 000 = 12 500. Divido entre el cobro por hora: 12 500 ÷ 2 500 = 5 horas.
3. ¿El punto (3, 12 500) cumple la relación, y el punto (3, 11 000)? Con 3 horas: 5 000 + 2 500 × 3 = 5 000 + 7 500 = 12 500. El primero sí la cumple; el segundo no, porque el total que corresponde a 3 horas es 12 500.
4. En un croquis a escala 1 cm : 150 cm, una pared mide 8 cm. ¿Cuánto mide de verdad? Del dibujo a la realidad se multiplica: 8 × 150 = 1 200 cm. Y 1 200 cm son 12 metros.
5. En «cada saco de abono cuesta ₡6 800 y doña Kenia compró varios», ¿qué es constante y qué es variable? Constante: el precio del saco, ₡6 800, que es el mismo para todos. Variables: la cantidad de sacos y el total pagado, porque cambian según la compra.
Los errores que más se cobran
- Multiplicar también la parte fija. En «5 000 + 2 500 × h», el 5 000 se cobra una vez. Multiplicarlo por las horas infla el total.
- Confundir cuál cantidad depende de cuál. El total depende de las horas, no al revés. En la primera columna de la tabla va la cantidad que uno elige y en la otra la que sale de la cuenta.
- Invertir el par ordenado al dibujar el punto. Va primero la cantidad de partida y después el resultado, igual que en cualquier plano de coordenadas.
- Tomar por constante algo que varía. Si el enunciado habla de «los distintos precios» en plural, hay más de un valor y eso es variable, aunque suene a precio fijo.
- Dividir cuando la escala pedía multiplicar, u olvidar convertir sus unidades. La medida real de una casa tiene que ser más grande que la del papel, y si la escala está en centímetros y la respuesta se pide en metros, falta un paso al final.
Clave de análisis
El tema entero se sostiene en una pregunta: ¿qué cambia y qué se queda quieto? Lo que se queda quieto es la constante y va en la expresión como número; lo que cambia es la variable y es la que se sustituye.
De ahí salen las tres formas en que la prueba presenta lo mismo. La expresión dice la regla en una línea, la tabla la muestra caso por caso y los puntos del plano la dibujan. Se pasa de una a otra sustituyendo valores.
La escala es esta misma idea aplicada a un dibujo: la constante es cuánto vale cada unidad del papel, y lo demás es multiplicar para agrandar o dividir para encoger.