Relaciones y Álgebra
El valor desconocido en una ecuación y en una inecuación
Al terminar vas a poder encontrar el valor desconocido de una ecuación paso por paso, explicar por qué lo que se le hace a un lado hay que hacérselo al otro, resolver una inecuación y decir todos los valores que la cumplen, y traducir un problema de la vida diaria a una de las dos formas.
Una ecuación es una balanza en equilibrio
Una ecuación es una igualdad con un valor desconocido, escrito con una letra: x + 17 = 45. Resolverla es averiguar qué número hace verdadera esa igualdad.
La imagen que lo explica todo es una balanza de dos platos. El signo igual es el fiel: lo de la izquierda pesa lo mismo que lo de la derecha.
Si a un plato le quitás 17 y al otro no, la balanza se desnivela. Por eso todo lo que se le hace a un lado hay que hacérselo al otro: es la única manera de que la igualdad siga siendo cierta.
Eso no es un truco: es la razón por la que despejar funciona.
Cómo se despeja: deshacer con la operación contraria
La letra suele venir con operaciones al lado, y cada una se quita haciendo la contraria: la resta deshace la suma, la división deshace la multiplicación.
En x + 17 = 45 la x está sumada con 17. Le resto 17 a los dos lados: x + 17 − 17 = 45 − 17, y queda x = 28.
En 6x = 138, «6x» quiere decir 6 multiplicado por x. Divido los dos lados entre 6: 138 ÷ 6 = 23.
Cuando hay dos operaciones, se deshacen de afuera hacia adentro: primero la suma o la resta, y de último la multiplicación o la división.
| lo que tiene la letra | qué se le hace a los dos lados |
|---|---|
| le suman un número | se resta ese número |
| le restan un número | se suma ese número |
| la multiplican por un número | se divide entre ese número |
| la dividen entre un número | se multiplica por ese número |
La comprobación es obligatoria y barata: meté el resultado en la ecuación original. Si 28 + 17 da 45, el valor está bien.
La inecuación: en vez de un valor, un montón
Una inecuación se parece a una ecuación, pero en lugar del igual lleva un signo de comparación: menor que (<), mayor que (>), menor o igual (≤) o mayor o igual (≥).
La diferencia es el tipo de respuesta. Una ecuación tiene un valor que la cumple; una inecuación tiene muchos.
En x + 5 < 12 se despeja igual: se restan 5 a los dos lados y queda x < 7. La respuesta no es un número, es una descripción: todos los valores menores que 7. Si el problema trabaja con naturales, son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y el 7 queda afuera porque el signo es «menor que».
El signo ≤ incluye el número; el signo < lo deja por fuera. Esa rayita de abajo decide un valor entero y es de lo que más se cobra.
Traducir un problema a una ecuación
El paso difícil no es despejar, es escribir la ecuación. Uno: decidí qué es lo que no sabés y ponele una letra. Dos: escribí con números lo que el enunciado afirma sobre esa cantidad. Tres: poné el igual donde el enunciado dice «es», «da» o «resulta».
Las palabras que marcan una inecuación son claras: «a lo sumo» pide ≤ y «al menos» pide ≥.
Ejemplos resueltos
1. Resolvé x + 17 = 45. Resto 17 a los dos lados: x = 45 − 17 = 28. Compruebo: 28 + 17 = 45. Correcto.
2. Resolvé 6x = 138. Divido entre 6 a los dos lados: x = 138 ÷ 6 = 23. Compruebo: 6 × 23 = 138. Correcto.
3. Resolvé 3x + 8 = 35. Primero deshago la suma: 3x = 35 − 8 = 27. Después deshago la multiplicación: x = 27 ÷ 3 = 9. Compruebo: 3 × 9 = 27, y 27 + 8 = 35. Correcto.
4. ¿Cuáles números naturales cumplen 4x ≤ 20? Divido entre 4 los dos lados: x ≤ 5. El signo incluye el 5, así que los valores son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
5. Un taller cobra ₡5 000 fijos más ₡2 500 por hora, y alguien tiene ₡20 000. ¿Cuántas horas puede pagar a lo sumo? Escribo la inecuación: 5 000 + 2 500h ≤ 20 000. Resto 5 000: 2 500h ≤ 15 000. Divido entre 2 500: h ≤ 6. Puede pagar hasta 6 horas, y le alcanza justo, porque 5 000 + 2 500 × 6 = 20 000.
Los errores que más se cobran
- Hacerle la operación a un solo lado. Es lo que rompe la balanza: si le restaste 8 a la izquierda, la derecha también pierde 8.
- Usar la misma operación en vez de la contraria. Si el número está sumando, no se suma otra vez: se resta. Es el error más común de quien tenía años de no ver esto.
- Deshacer en el orden equivocado. En 3x + 8 = 35, dividir primero entre 3 obliga a dividir también el 8. Primero lo que está más afuera.
- Confundir < con ≤. El resultado cambia en un valor entero, y ese valor suele estar puesto como distractor.
- Dar un solo número como respuesta de una inecuación. La respuesta es un conjunto: si el problema pide naturales, se listan.
- No comprobar. Sustituir toma diez segundos y atrapa cualquier error de cuenta.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: resolver una ecuación haciéndole lo mismo a los dos lados.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Se le puede restar a un solo lado? → No: se rompe la balanza
- x + 17 = 45, ¿cuánto vale x? → 28
- 6x = 138, ¿cuánto vale x? → 23
Si se traba. Si opera de un solo lado, dibuje una balanza y pregúntele qué pasa si quita peso de un platillo.
Cinco minutos en la casa. Escríbale tres ecuaciones y que compruebe cada respuesta sustituyendo.
Clave de análisis
Con una sola imagen se reconstruye todo: la ecuación es una balanza y el igual es el fiel. De ahí sale la regla de hacerle lo mismo a los dos lados, y de ahí sale que despejar sea deshacer, no adivinar.
La segunda idea es que cada operación tiene su contraria, y que se aplican de afuera hacia adentro, como cuando uno se quita primero el abrigo y después la camisa. Con eso no hacen falta reglas distintas para cada tipo de ecuación.
La inecuación se despeja exactamente igual, y lo único que cambia es que la respuesta describe un rango en lugar de un punto. El signo sí hay que leerlo con lupa: la diferencia entre «menor que» y «menor o igual» se juega en un solo número, y ese número suele ser el que decide la pregunta.