Regla de tres y proporcionalidad directa
Al terminar vas a poder reconocer cuándo dos cantidades son directamente proporcionales, explicar por qué la regla de tres funciona y no es un truco, resolver un problema con el método de la unidad o con el producto cruzado, y darte cuenta de cuándo la regla de tres no se puede aplicar.
Una razón es una comparación por división
Una razón entre dos cantidades es el resultado de dividir una entre la otra. Si tres kilos de frijol cuestan ₡4 500, la razón entre precio y kilos es 4 500 ÷ 3 = 1 500 colones por kilo.
Esa razón dice cuánto vale una unidad, y es el corazón de todo este tema.
Una proporción es la afirmación de que dos razones son iguales. Si el frijol se vende al mismo precio, la razón de siete kilos tiene que ser también 1 500 por kilo.
Qué significa que dos cantidades sean directamente proporcionales
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.
El doble de kilos cuesta el doble. El triple, el triple. La mitad, la mitad.
La prueba que decide: dividí una cantidad entre la otra en varios casos. Si siempre da lo mismo, son directamente proporcionales. Ese resultado fijo es la constante.
Y hay que tener cuidado, porque no todo en la vida es proporcional. Si una persona de 20 años pesa 60 kilos, una de 40 no pesa 120. La proporcionalidad hay que comprobarla, no suponerla.
| ¿son proporcionales? | por qué |
| kilos de arroz y lo que se paga: sí | el precio por kilo no cambia |
| kilómetros y tiempo a rapidez fija: sí | los km por hora no cambian |
| edad y peso de una persona: no | no hay una razón fija |
De dónde sale la regla de tres
La regla de tres se llama así porque te dan tres datos y hay que hallar el cuarto. Se escribe así:
si 3 kg cuestan ₡4 500, entonces 7 kg cuestan x
Como las dos razones son iguales, 4 500 ÷ 3 = x ÷ 7. De esa igualdad sale el famoso producto cruzado: se multiplican los datos que quedan en diagonal y se divide entre el que está frente a la incógnita.
x = 4 500 × 7 ÷ 3
No es un truco: es la igualdad de razones despejada. Y hay un camino todavía más claro, el método de la unidad, que hace lo mismo en dos pasos visibles.
Paso uno: averiguá cuánto vale uno. 4 500 ÷ 3 = 1 500 por kilo. Paso dos: multiplicá por los que te piden. 1 500 × 7 = 10 500.
Los dos métodos dan el mismo número, porque hacen las mismas dos operaciones en distinto orden.
Cómo se arma el planteo sin confundirse
El error más caro de este tema no está en la cuenta, está en el planteo. Se evita con una regla de escritura: poné las cantidades de la misma clase en la misma columna.
Kilos con kilos, colones con colones, horas con horas. Si el 7 va en la columna de los kilos, el resultado va a salir en colones, que es lo que se pide.
Si mezclás las columnas, el producto cruzado sigue dando un número, pero ese número no significa nada.
Ejemplos resueltos
1. Si 3 kg de frijol cuestan ₡4 500, ¿cuánto cuestan 7 kg? Método de la unidad: 4 500 ÷ 3 = 1 500 por kilo. 1 500 × 7 = ₡10 500. Producto cruzado: 4 500 × 7 = 31 500, y 31 500 ÷ 3 = 10 500. Coincide.
2. Un bus recorre 120 km en 2 horas a rapidez constante. ¿Cuánto recorre en 5 horas? Por hora: 120 ÷ 2 = 60 km. En 5 horas: 60 × 5 = 300 km.
3. Una receta para 4 personas lleva 6 tazas de arroz. ¿Cuántas tazas lleva para 6 personas? Por persona: 6 ÷ 4 = 1,5 tazas. Para 6 personas: 1,5 × 6 = 9 tazas.
4. Con 5 litros de pintura se cubren 20 m² de pared. ¿Cuántos litros se ocupan para 32 m²? Cuántos metros cubre un litro: 20 ÷ 5 = 4 m² por litro. Litros para 32 m²: 32 ÷ 4 = 8 litros. Compruebo: 8 litros × 4 m² = 32 m². Cuadra.
5. Si 6 camisas cuestan ₡27 000, ¿cuántas camisas se compran con ₡18 000? Precio de una: 27 000 ÷ 6 = 4 500. Camisas con 18 000: 18 000 ÷ 4 500 = 4 camisas.
Los errores que más se cobran
- Mezclar las clases de cantidad en el planteo. Poner los kilos donde van los colones da un número sin sentido. Cada columna lleva una sola clase de cosa, siempre.
- Multiplicar los datos equivocados en el producto cruzado. Se multiplican los dos que están en diagonal respecto de la incógnita, y se divide entre el que le queda al frente.
- Aplicar regla de tres donde no hay proporcionalidad. Si el problema dice que el precio del kilo cambia por volumen, o que hay un cobro fijo, la proporción se rompe y el resultado sale mal.
- Olvidar que el resultado puede ser decimal. «Por persona toca 1,5 tazas» es una respuesta correcta y no hay que forzarla a número entero.
- Invertir la razón. Preguntarse «cuántos kilómetros por hora» y calcular «cuántas horas por kilómetro» da el inverso, y suele estar entre las opciones.
- No comprobar con el tamaño. Si pediste más kilos, el precio tiene que salir mayor.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: reconocer la proporcionalidad directa y plantear la regla de tres.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Qué va en cada columna? → Una sola clase de cantidad: kilos con kilos, colones con colones
- 3 kg cuestan ₡4 500, ¿cuánto cuestan 7? → ₡10 500
- ¿Por qué funciona la regla de tres? → Porque el precio por unidad no cambia
Si se traba. Si mezcla las columnas, hágale rotular cada una antes de calcular.
Cinco minutos en la casa. Tomen una receta para cuatro y que la ajuste para seis.
Clave de análisis
Este tema se sostiene en una sola frase: una proporción es la afirmación de que dos razones son iguales. De ahí sale la regla de tres despejando, y de ahí sale por qué funciona el producto cruzado.
Si algún día no te acordás de cuáles se multiplican, usá el método de la unidad, que no pide recordar nada. Primero averiguá cuánto vale uno, después multiplicá por los que te piden. Es el mismo cálculo y cada paso se puede leer en voz alta: «el kilo sale a mil quinientos, siete kilos son diez mil quinientos».
Y antes de aplicar cualquiera de los dos, hacé la pregunta que decide si el método sirve: ¿el doble de esto da el doble de aquello? Si la respuesta es sí, hay proporcionalidad directa y la regla de tres es válida. Si es no, ninguna cuenta va a arreglar un planteo que no correspondía.