Estadística y Probabilidad
Moda, media, máximo, mínimo y recorrido
Al terminar vas a poder calcular la moda, la media aritmética, el máximo, el mínimo y el recorrido de un conjunto de datos, explicar qué pregunta contesta cada una, decir cuándo la media engaña, e interpretar con palabras exactas lo que significa cada medida.
Cinco medidas, cinco preguntas distintas
Cuando uno tiene una lista de datos, no hay una sola forma de resumirla. Cada medida contesta una pregunta diferente, y el examen suele preguntar por la interpretación, no por la cuenta.
| medida | qué pregunta contesta |
|---|---|
| moda | ¿cuál valor se repite más? |
| media aritmética | ¿cuánto tocaría a cada uno? |
| máximo | ¿cuál es el más alto? |
| mínimo | ¿cuál es el más bajo? |
| recorrido | ¿qué tan separados están? |
La moda: lo que más se repite
La moda es el valor que aparece más veces. No es el más grande ni el del medio: es el más repetido.
Si dos valores empatan en repeticiones, hay dos modas y las dos se reportan. Si ningún valor se repite, no hay moda.
Y hay una interpretación que se cobra caro: la moda no es la mayoría. En la lista 3, 2, 5, 3, 1 la moda es 3, pero solo dos de cinco datos son 3.
La media aritmética: el reparto parejo
La media aritmética —también llamada promedio— se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre cuántos son.
Su significado es el de un reparto: es lo que le tocaría a cada uno si todo se repartiera por igual. Por eso no tiene que ser un valor que aparezca en la lista, y muchas veces no lo es.
Una media de 2,8 libros no quiere decir que alguien leyó 2,8 libros. Quiere decir que, si los libros leídos se repartieran parejo entre las cinco personas, a cada una le tocarían 2,8.
Cuándo engaña la media. Si hay un dato muy alejado de los demás, la media se corre hacia él y deja de representar al grupo. En los salarios 180 000, 200 000, 200 000, 220 000 y 1 200 000, la media es 400 000, y cuatro de las cinco personas ganan menos que eso.
Ese es el momento en que la moda describe mejor al grupo que la media.
El recorrido: cuánto se estiran los datos
El máximo es el dato más alto y el mínimo el más bajo. El recorrido —también llamado rango— es la resta de los dos:
recorrido = máximo − mínimo
Lo que mide es la variabilidad: qué tan separados están los extremos. Un recorrido chico dice que los datos son parecidos; uno grande, que hay diferencias fuertes.
Fijate en que el recorrido no dice nada del centro: dos grupos pueden tener el mismo recorrido y medias muy distintas.
Ejemplos resueltos
1. Cinco personas leyeron 3, 2, 5, 3 y 1 libros. Calculá las cinco medidas. Moda: el 3 aparece dos veces y los demás una. La moda es 3. Media: 3 + 2 + 5 + 3 + 1 = 14, y 14 ÷ 5 = 2,8. Máximo: 5. Mínimo: 1. Recorrido: 5 − 1 = 4.
2. ¿Cuál interpretación de la moda del ejemplo anterior es correcta? Es correcto decir «la cantidad de libros que más se repite es 3». No es correcto decir «la mayoría leyó 3 libros»: solo dos de cinco lo hicieron. Tampoco es correcto decir «el máximo fue 3»: el máximo es 5.
3. Las notas de un grupo fueron 7, 8, 8, 9, 10 y 6. Calculá media, moda y recorrido. Suma: 7 + 8 = 15, 15 + 8 = 23, 23 + 9 = 32, 32 + 10 = 42, 42 + 6 = 48. Media: 48 ÷ 6 = 8. Moda: el 8 aparece dos veces, los demás una. La moda es 8. Recorrido: 10 − 6 = 4.
4. En una empresa cinco personas ganan ₡180 000, ₡200 000, ₡200 000, ₡220 000 y ₡1 200 000. ¿Cuál medida describe mejor lo que gana la gente? Suma: 180 000 + 200 000 = 380 000; + 200 000 = 580 000; + 220 000 = 800 000; + 1 200 000 = 2 000 000. Media: 2 000 000 ÷ 5 = ₡400 000. Moda: ₡200 000. La moda describe mejor al grupo, porque la media está estirada por el salario de 1 200 000 y cuatro de las cinco personas ganan menos que la media.
5. En la lista 4, 4, 7, 7 y 9, ¿cuál es la moda y cuál el recorrido? El 4 aparece dos veces y el 7 también: hay dos modas, 4 y 7, y reportar solo una sería incompleto. Recorrido: 9 − 4 = 5.
Los errores que más se cobran
- Confundir la moda con el máximo. La moda es el que más se repite; el máximo es el más alto. Suelen ser números distintos y los dos aparecen entre las opciones.
- Decir que la moda es «la mayoría». Mayoría es más de la mitad de los datos. La moda puede ser mayoría o no serlo, y casi nunca lo es en las listas cortas del examen.
- Dividir entre el número equivocado en la media. Se divide entre cuántos datos hay, no entre el valor más alto ni entre la cantidad de valores distintos.
- Rechazar una media con decimales. La media casi nunca es uno de los datos, y no hay que redondearla a un valor de la lista.
- Sumar el máximo y el mínimo en vez de restarlos. El recorrido mide separación, y la separación es una resta.
- Usar la media cuando hay un dato extremo. Si lo hay, conviene mirar también la moda.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: calcular moda, media, máximo, mínimo y recorrido.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Moda y máximo son lo mismo? → No: la moda es la que más se repite
- Con 3, 2, 5, 3 y 1, ¿cuál es la moda? → 3
- ¿Cuál es el recorrido? → 4: del 1 al 5
Si se traba. Si confunde moda con máximo, pregúntele cuál se repite y cuál es el más alto: no tienen por qué coincidir.
Cinco minutos en la casa. Anoten cuánto gastaron cinco días y que calcule las cinco medidas.
Clave de análisis
Las cinco medidas se reconstruyen preguntándose qué quiere saber uno de la lista. Lo más común es la moda. Cuánto tocaría por cabeza es la media. Los extremos son el máximo y el mínimo, y cuánto se separan es el recorrido.
De esa lectura salen cuatro sin ninguna fórmula. La media es la única que exige una cuenta, y esa cuenta es la del reparto: junto todo y lo divido entre los que son.
La advertencia que más puntos vale no es de cálculo, es de interpretación. La media supone que todos son parecidos, y cuando hay un dato muy alejado esa suposición se rompe: sigue estando bien calculada y describiendo mal. Quien vea esa diferencia contesta bien los ítems de prosa, que son los difíciles de este contenido.