Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones

El reparto de trabajo entre los dos números

Una fracción tiene dos números con trabajos distintos, y casi todas las reglas salen de ahí.

• El denominador dice en cuántas partes iguales se partió el entero. Es el tamaño de la parte.
• El numerador dice cuántas de esas partes se tomaron. Es la cantidad.

Sumar 1/4 con 2/3 sin igualar los denominadores es como sumar tres huevos con cuatro tortillas y decir que hay siete huevos.

Amplificar y simplificar: dos caminos, el mismo valor

Amplificar es multiplicar arriba y abajo por el mismo número. Simplificar es dividir arriba y abajo por el mismo número.

Ninguna de las dos cambia el valor: si partís el entero en el doble de pedazos y tomás el doble, tenés lo mismo.

• Amplificar 2/5 por 3: (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15.
• Simplificar 18/24 entre 6: (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4.

Una fracción está en su forma más simple cuando ningún número salvo el 1 divide exacto a los dos. La respuesta de la prueba aparece así.

Suma y resta: primero igualar el tamaño de la parte

Si los denominadores ya son iguales —fracciones homogéneas—, se suman o restan los numeradores y el denominador se conserva.

5/9 + 2/9 = 7/9

El porqué está a la vista: cinco novenos más dos novenos son siete novenos. El 9 no se toca porque el tamaño de la parte no cambió.

Si los denominadores son distintos —fracciones heterogéneas—, hay un paso previo obligatorio: buscar el mínimo común múltiplo (mcm), el número más pequeño en el que los dos caben exacto.

Ejemplo: 3/8 + 1/6.

1. Múltiplos de 8: 8, 16, 24… Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24… El mcm es 24.
2. 3/8 se amplifica: como 24 ÷ 8 = 3, se multiplica arriba y abajo por 3 y queda 9/24.
3. 1/6 se amplifica: como 24 ÷ 6 = 4, se multiplica por 4 y queda 4/24.
4. Ahora sí: 9/24 + 4/24 = 13/24.

Comprobación: 0,375 + 0,167 = 0,542, y 13 ÷ 24 ≈ 0,542. Coincide.

Multiplicación: por qué acá sí se multiplican los denominadores

Multiplicar fracciones es tomar una parte de otra parte, y al partir una parte los pedazos se achican. Por eso el denominador crece.

2/3 × 3/5 = (2 × 3)/(3 × 5) = 6/15, que simplificado entre 3 es 2/5.

Pensalo con el entero: partir en 3 y después cada tercio en 5 deja 15 pedacitos, y te quedás con 6. Ahí está la regla: numerador por numerador, denominador por denominador.

División: por qué se invierte la segunda

El inverso multiplicativo de una fracción es la misma fracción volteada: el de 2/5 es 5/2. Se llama así porque una por la otra da 1: 10/10 = 1.

Dividir es preguntar cuántas veces cabe una cantidad en otra, y el inverso contesta justo eso. Mirá: 1 ÷ 1/4 pregunta cuántos cuartos caben en un entero. Caben 4, y 1 × 4/1 = 4.

Entonces: se multiplica la primera por el inverso de la segunda.

3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

Comprobación: 15 ÷ 8 = 1,875. Y en decimales, 0,75 ÷ 0,4 = 1,875. Coincide.

Ejemplos resueltos

1. Simplificá 45/60 todo lo que se pueda. Los dos se dividen entre 5: 9/12. Los dos se dividen entre 3: 3/4. 45/60 = 3/4. Comprobación: 45 ÷ 60 = 0,75 y 3 ÷ 4 = 0,75.

2. Calculá 7/10 − 2/5. El 10 es múltiplo de 5, así que el mcm es 10 y solo cambia la segunda: 2/5 se amplifica por 2 y queda 4/10. 7/10 − 4/10 = 3/10. Comprobación: 0,7 − 0,4 = 0,3.

3. ¿Cuántos vasos de 3/4 de litro se llenan con 6 litros de fresco? «Cuántas veces cabe» es división: 6 ÷ 3/4. El 6 se escribe como 6/1 y se multiplica por el inverso: 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8 vasos. Comprobación: 8 vasos × 3/4 de litro = 24/4 = 6 litros. Exacto.

4. Calculá 2/3 + 1/6 − 1/2. El 6 es múltiplo de 3 y de 2, así que el mcm es 6. 2/3 = 4/6; 1/6 se queda igual; 1/2 = 3/6. (4 + 1 − 3)/6 = 2/6 = 1/3. Comprobación: 0,667 + 0,167 − 0,5 = 0,333.

Los errores que más se cobran

1. Sumar los denominadores. Escribir 1/4 + 2/3 = 3/7. El porqué: el denominador es el tamaño de la parte, no una cantidad. Sumarlo cambia la unidad a mitad de camino.
2. Cambiar el denominador y olvidar el numerador. El porqué: amplificar exige multiplicar arriba y abajo por el mismo número. Si tocás uno solo, la fracción cambia de valor.
3. Invertir la primera fracción en vez de la segunda. El porqué: se invierte la que divide, porque la pregunta es cuántas veces cabe esa.
4. Buscar denominador común para multiplicar. El porqué: igualar partes sirve para contarlas, y eso lo hacen la suma y la resta. La multiplicación parte las partes.
5. Dejar el resultado sin simplificar. El porqué: 6/15 y 2/5 valen lo mismo, pero la opción correcta aparece simplificada.
6. Esperar que multiplicar agrande siempre. El porqué: multiplicar por una fracción menor que uno es tomar una parte, y una parte es menor que el todo.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Se suman los denominadores? → No: hay que igualarlos primero
2. 7/10 − 2/5, ¿cuánto da? → 3/10
3. ¿Cuántos vasos de 3/4 de litro salen de 6 litros? → Ocho

Si se traba. Si suma los denominadores, pregúntele si un cuarto más dos tercios puede dar menos de un medio.

Cinco minutos en la casa. Midan con una taza de 1/4 cuántas caben en un litro y que lo escriba en fracción.

Clave de análisis

Todo sale de una sola idea: el denominador dice el tamaño de la parte y el numerador dice cuántas hay.

Si la operación cuenta partes —suma o resta—, las partes tienen que ser del mismo tamaño. De ahí salen el mcm, la conservación del denominador y el disparate de sumar denominadores.

Si la operación parte las partes —multiplicación—, los denominadores se multiplican porque los pedazos se achican. Y dividir entre una fracción es preguntar cuántas veces cabe, que es lo que contesta el inverso.

Con eso reconstruís las cuatro reglas aunque se te borren. Y llevate la comprobación, que vale tanto como la regla: pasá el resultado a decimales y compará. Si no coincide, el error está adentro y lo encontrás vos antes que el examen.