Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones

Al terminar vas a poder simplificar y amplificar una fracción sin cambiarle el valor, sumar y restar fracciones aunque los denominadores sean distintos, explicar por qué en la suma no se tocan los denominadores pero en la multiplicación sí, y comprobar cada resultado antes de entregarlo.

El reparto de trabajo entre los dos números

Una fracción tiene dos números con trabajos distintos, y casi todas las reglas salen de ahí.

Sumar 1/4 con 2/3 sin igualar los denominadores es como sumar tres huevos con cuatro tortillas y decir que hay siete huevos.

Amplificar y simplificar: dos caminos, el mismo valor

Amplificar es multiplicar arriba y abajo por el mismo número. Simplificar es dividir arriba y abajo por el mismo número.

Ninguna de las dos cambia el valor: si partís el entero en el doble de pedazos y tomás el doble, tenés lo mismo.

Una fracción está en su forma más simple cuando ningún número salvo el 1 divide exacto a los dos. La respuesta de la prueba aparece así.

Suma y resta: primero igualar el tamaño de la parte

Si los denominadores ya son iguales —fracciones homogéneas—, se suman o restan los numeradores y el denominador se conserva.

5/9 + 2/9 = 7/9

El porqué está a la vista: cinco novenos más dos novenos son siete novenos. El 9 no se toca porque el tamaño de la parte no cambió.

Si los denominadores son distintos —fracciones heterogéneas—, hay un paso previo obligatorio: buscar el mínimo común múltiplo (mcm), el número más pequeño en el que los dos caben exacto.

Ejemplo: 3/8 + 1/6.

  1. Múltiplos de 8: 8, 16, 24… Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24… El mcm es 24.
  2. 3/8 se amplifica: como 24 ÷ 8 = 3, se multiplica arriba y abajo por 3 y queda 9/24.
  3. 1/6 se amplifica: como 24 ÷ 6 = 4, se multiplica por 4 y queda 4/24.
  4. Ahora sí: 9/24 + 4/24 = 13/24.

Comprobación: 0,375 + 0,167 = 0,542, y 13 ÷ 24 ≈ 0,542. Coincide.

Las cinco barras miden lo mismo porque todas son el mismo entero. Compará las dos de arriba: los octavos y los sextos son pedazos de distinto tamaño, y por eso no se pueden contar juntos. Abajo las dos barras están partidas en veinticuatro, los pedazos ya miden igual y contar es sumar numeradores. Ahí se ve para qué sirve el mínimo común múltiplo y por qué el 24 no se toca.
Las cinco barras miden lo mismo porque todas son el mismo entero. Compará las dos de arriba: los octavos y los sextos son pedazos de distinto tamaño, y por eso no se pueden contar juntos. Abajo las dos barras están partidas en veinticuatro, los pedazos ya miden igual y contar es sumar numeradores. Ahí se ve para qué sirve el mínimo común múltiplo y por qué el 24 no se toca.

Multiplicación: por qué acá sí se multiplican los denominadores

Multiplicar fracciones es tomar una parte de otra parte, y al partir una parte los pedazos se achican. Por eso el denominador crece.

2/3 × 3/5 = (2 × 3)/(3 × 5) = 6/15, que simplificado entre 3 es 2/5.

Pensalo con el entero: partir en 3 y después cada tercio en 5 deja 15 pedacitos, y te quedás con 6. Ahí está la regla: numerador por numerador, denominador por denominador.

Una barra de chocolate marcada en cuadros. Las rayas a lo largo y las rayas a lo ancho parten la barra dos veces, y por eso los cuadritos que quedan son tantos como el producto de las dos particiones. Al multiplicar fracciones pasa lo mismo: se parten las partes, y por eso los denominadores se multiplican. Imagen de flickr — Siona Karen, licencia BY.
Una barra de chocolate marcada en cuadros. Las rayas a lo largo y las rayas a lo ancho parten la barra dos veces, y por eso los cuadritos que quedan son tantos como el producto de las dos particiones. Al multiplicar fracciones pasa lo mismo: se parten las partes, y por eso los denominadores se multiplican. Imagen de flickr — Siona Karen, licencia BY.

División: por qué se invierte la segunda

El inverso multiplicativo de una fracción es la misma fracción volteada: el de 2/5 es 5/2. Se llama así porque una por la otra da 1: 10/10 = 1.

Dividir es preguntar cuántas veces cabe una cantidad en otra, y el inverso contesta justo eso. Mirá: 1 ÷ 1/4 pregunta cuántos cuartos caben en un entero. Caben 4, y 1 × 4/1 = 4.

Entonces: se multiplica la primera por el inverso de la segunda.

3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

Comprobación: 15 ÷ 8 = 1,875. Y en decimales, 0,75 ÷ 0,4 = 1,875. Coincide.

Ejemplos resueltos

1. Simplificá 45/60 todo lo que se pueda. Los dos se dividen entre 5: 9/12. Los dos se dividen entre 3: 3/4. 45/60 = 3/4. Comprobación: 45 ÷ 60 = 0,75 y 3 ÷ 4 = 0,75.

2. Calculá 7/10 − 2/5. El 10 es múltiplo de 5, así que el mcm es 10 y solo cambia la segunda: 2/5 se amplifica por 2 y queda 4/10. 7/10 − 4/10 = 3/10. Comprobación: 0,7 − 0,4 = 0,3.

3. ¿Cuántos vasos de 3/4 de litro se llenan con 6 litros de fresco? «Cuántas veces cabe» es división: 6 ÷ 3/4. El 6 se escribe como 6/1 y se multiplica por el inverso: 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8 vasos. Comprobación: 8 vasos × 3/4 de litro = 24/4 = 6 litros. Exacto.

4. Calculá 2/3 + 1/6 − 1/2. El 6 es múltiplo de 3 y de 2, así que el mcm es 6. 2/3 = 4/6; 1/6 se queda igual; 1/2 = 3/6. (4 + 1 − 3)/6 = 2/6 = 1/3. Comprobación: 0,667 + 0,167 − 0,5 = 0,333.

Los errores que más se cobran

  1. Sumar los denominadores. Escribir 1/4 + 2/3 = 3/7. El porqué: el denominador es el tamaño de la parte, no una cantidad. Sumarlo cambia la unidad a mitad de camino.
  2. Cambiar el denominador y olvidar el numerador. El porqué: amplificar exige multiplicar arriba y abajo por el mismo número. Si tocás uno solo, la fracción cambia de valor.
  3. Invertir la primera fracción en vez de la segunda. El porqué: se invierte la que divide, porque la pregunta es cuántas veces cabe esa.
  4. Buscar denominador común para multiplicar. El porqué: igualar partes sirve para contarlas, y eso lo hacen la suma y la resta. La multiplicación parte las partes.
  5. Dejar el resultado sin simplificar. El porqué: 6/15 y 2/5 valen lo mismo, pero la opción correcta aparece simplificada.
  6. Esperar que multiplicar agrande siempre. El porqué: multiplicar por una fracción menor que uno es tomar una parte, y una parte es menor que el todo.

Clave de análisis

Todo sale de una sola idea: el denominador dice el tamaño de la parte y el numerador dice cuántas hay.

Si la operación cuenta partes —suma o resta—, las partes tienen que ser del mismo tamaño. De ahí salen el mcm, la conservación del denominador y el disparate de sumar denominadores.

Si la operación parte las partes —multiplicación—, los denominadores se multiplican porque los pedazos se achican. Y dividir entre una fracción es preguntar cuántas veces cabe, que es lo que contesta el inverso.

Con eso reconstruís las cuatro reglas aunque se te borren. Y llevate la comprobación, que vale tanto como la regla: pasá el resultado a decimales y compará. Si no coincide, el error está adentro y lo encontrás vos antes que el examen.

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