Números
Las cuatro operaciones y el orden en que se resuelven
Al terminar vas a poder dividir con residuo y comprobar el resultado, decidir en qué orden se resuelve una expresión con varias operaciones, y traducir un problema de compras a una sola línea de cálculo.
La división por dentro: cuatro nombres y una igualdad
Cuando dividís 7 458 entre 24, hay cuatro números en juego.
- El dividendo es lo que se reparte: 7 458.
- El divisor es entre cuántos se reparte: 24.
- El cociente es cuánto le toca a cada uno.
- El residuo es lo que sobra sin repartir.
Toda división cumple esta igualdad: dividendo = divisor × cociente + residuo, y el residuo siempre es menor que el divisor.
Esa igualdad es la comprobación: si al rehacerla no te da el dividendo, la división está mala y lo sabés antes de entregar.
¿Y por qué el residuo tiene que ser menor que el divisor? Porque si fuera igual o mayor, todavía alcanzaría para una vuelta más. Un residuo grande avisa que el cociente quedó corto.
Cómo se hace la división paso a paso
Dividamos 7 458 entre 24 restando de a poco.
- 24 × 300 = 7 200. Se lo quito a 7 458 y quedan 258.
- 24 × 10 = 240. Se lo quito a 258 y quedan 18.
- El 24 ya no cabe en 18, así que ahí paro.
- Sumo lo repartido: 300 + 10 = 310, y sobran 18.
Comprobación: 24 × 310 = 7 440, y 7 440 + 18 = 7 458. Cierra.
Después hay que decidir qué hacer con el residuo. Si se reparten ₡7 458 entre 24 personas en monedas enteras, cada una recibe ₡310 y sobran ₡18.
El orden de las operaciones, y por qué es ese
Mirá esta expresión: 5 + 3 × 4.
Si sumás primero da 32; si multiplicás primero da 17. La correcta es 17, y no por acuerdo caprichoso.
La multiplicación es una suma repetida ya empaquetada: 3 × 4 es 4 + 4 + 4. Entonces 5 + 3 × 4 es 5 + 4 + 4 + 4, o sea 17. Se resuelve primero porque ya es un paquete armado, y adentro del paquete no se mete otro sumando.
El orden completo:
| Paso | Qué se resuelve | Dirección |
|---|---|---|
| 1 | lo que está en paréntesis | de adentro hacia afuera |
| 2 | multiplicaciones y divisiones | de izquierda a derecha |
| 3 | sumas y restas | de izquierda a derecha |
Multiplicación y división van en el mismo escalón: se resuelve la que aparezca primero de izquierda a derecha. Lo mismo pasa con suma y resta.
Los paréntesis existen para romper ese orden. Escribir (5 + 3) × 4 pide que la suma vaya primero, y ahí sí da 32.
Ejemplos resueltos
1. Resolvé 200 − 4 × (15 − 9) ÷ 3. Primero el paréntesis: 15 − 9 = 6. Queda 200 − 4 × 6 ÷ 3. Ahora multiplicación y división, de izquierda a derecha: 4 × 6 = 24; después 24 ÷ 3 = 8. Queda 200 − 8 = 192.
2. En la feria comprás 3 kg de tomate a ₡1 200 el kilo y 2 kg de cebolla a ₡900. Pagás con ₡10 000. ¿Cuánto te dan de vuelto? En una sola línea: 10 000 − (3 × 1 200 + 2 × 900). Tomate: 3 600. Cebolla: 1 800. Total: 3 600 + 1 800 = 5 400. Vuelto: 10 000 − 5 400 = ₡4 600.
3. Un salón tiene 148 sillas acomodadas en filas de 12. ¿Cuántas filas completas se arman y cuántas sillas sobran? 148 ÷ 12: 12 × 12 = 144, y 148 − 144 = 4. Se arman 12 filas completas y sobran 4 sillas. Comprobación: 12 × 12 + 4 = 148. Para sentar a todos hacen falta 13 filas.
4. Resolvé 18 ÷ 3 × 2. Las dos operaciones están en el mismo escalón, así que se va de izquierda a derecha. 18 ÷ 3 = 6; después 6 × 2 = 12. Resolver primero la multiplicación daría 18 ÷ 6 = 3, y ese es el error típico.
Los errores que más se cobran
- Resolver de izquierda a derecha sin mirar qué operación es. Calcular 5 + 3 × 4 = 32. El porqué: la multiplicación es un paquete cerrado de sumas y no admite que se le agregue nada adentro.
- Creer que la multiplicación siempre va antes que la división. El porqué: están en el mismo escalón. Manda el orden de aparición, de izquierda a derecha.
- Olvidar el residuo o dejarlo más grande que el divisor. El porqué: si el residuo llega al divisor, todavía cabe otra vuelta. Un residuo de 30 con divisor 24 significa que al cociente le falta uno.
- Contestar con el cociente cuando el problema pide el total. El porqué: 12 filas completas y 4 sillas sueltas necesitan 13 filas. Releé qué pregunta el enunciado.
- Restar el vuelto antes de sumar toda la compra. El porqué: el paréntesis está en el total. Si restás de a uno, tenés que hacerlo con los dos productos.
- Perder una cifra al alinear la suma escrita. El porqué: las unidades van con las unidades y los miles con los miles.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: resolver una expresión respetando el orden de las operaciones.
Tres preguntas para hacerle
- ¿Se resuelve de izquierda a derecha siempre? → No: primero paréntesis, luego por y entre
- 5 + 3 × 4, ¿cuánto da? → 17
- 148 sillas en filas de 12, ¿cuántas filas completas? → 12 filas y sobran 4
Si se traba. Si va de izquierda a derecha, hágale encerrar la multiplicación en un círculo antes de empezar.
Cinco minutos en la casa. Armen una cuenta de feria con tres productos y que la resuelva en una sola expresión.
Clave de análisis
Dos ideas sostienen la lección, y ninguna es un dato suelto.
La primera: dividir es repartir y el residuo es lo que no alcanzó para una vuelta más. De ahí salen la comprobación —divisor por cociente, más residuo— y el hecho de que el residuo sea menor que el divisor.
La segunda: el orden de las operaciones es el orden en que están armados los paquetes. El paréntesis es el paquete más cerrado, después va la multiplicación —una suma empaquetada— y al final la suma y la resta, que trabajan con números sueltos. Si la expresión es larga, subrayá primero los paréntesis y después los signos × y ÷. Y cuando el problema viene en palabras, escribilo como una sola línea de cálculo antes de tocar ningún número: la mitad de los errores se cometen traduciendo.