Relaciones y Álgebra
El valor desconocido cuando viene en figuras: balanzas y cuadros vacíos
Al terminar vas a poder resolver una expresión donde el número que falta viene dibujado —un cuadro vacío, una figura o una balanza—, explicar por qué una figura repetida vale siempre lo mismo, y pasar cualquiera de esos dibujos a una operación de una línea.
El mismo problema con otra ropa
Ya sabés resolver x + 17 = 45. Lo que hace esta lección es enseñarte a reconocer ese mismo problema cuando no viene con letra, sino con un cuadro vacío, una figura geométrica o una balanza dibujada.
La evidencia oficial lo pide con estas palabras: el número que falta en una expresión con representaciones gráficas. Es una de las tres evidencias de su afirmación, así que aparece.
La figura es la letra. Un triángulo dibujado en una expresión cumple exactamente el papel de la x: es un número que todavía no sabés.
Y de ahí sale la regla que ordena todo lo demás: si la misma figura aparece dos veces, vale lo mismo las dos veces. Si aparecen dos figuras distintas, son dos números distintos (o pueden serlo).
Las tres formas en que aparece
| Forma | Cómo se ve | Cómo se traduce |
|---|---|---|
| Cuadro o espacio vacío | 8 × ▢ = 56 | 8 × x = 56 |
| Figura que vale un número | △ + △ + 5 = 19 | 2x + 5 = 19 |
| Balanza en equilibrio | dos platos iguales | lado izquierdo = lado derecho |
La traducción siempre es el primer paso, y conviene escribirla aunque parezca obvio: pasar el dibujo a una línea de operación es donde se gana o se pierde el ítem.
Cómo se despeja: la operación contraria
Para encontrar el número que falta se deshace lo que se le hizo, con la operación contraria:
- Si le sumaron, se resta.
- Si le restaron, se suma.
- Si lo multiplicaron, se divide.
- Si lo dividieron, se multiplica.
En 8 × ▢ = 56, al cuadro lo multiplicaron por 8; entonces se divide: 56 ÷ 8 = 7.
En ▢ − 12 = 30, al cuadro le restaron 12; entonces se suma: 30 + 12 = 42.
Comprobación obligatoria: metés el número en el dibujo original y ves si la igualdad se cumple. 8 × 7 = 56, sí. Esa comprobación toma tres segundos y atrapa casi todos los errores.
Cuando la figura aparece varias veces
Acá está lo propio de esta lección. Si la expresión es △ + △ + △ = 21, no hay tres números: hay el mismo número tres veces. Entonces 3 × △ = 21, y △ = 7.
Y si la expresión mezcla, como △ + △ + 5 = 19, se resuelve en dos movimientos:
- Sacá lo que no es figura: 19 − 5 = 14. Ahora △ + △ = 14.
- Repartí entre la cantidad de figuras: 14 ÷ 2 = 7.
Ese orden —primero quitar lo suelto, después repartir— vale para cualquier caso, aunque haya cinco figuras y dos números sueltos.
La balanza
La balanza dibujada dice una sola cosa: los dos platos pesan igual. Es una igualdad puesta de canto.
Si en el plato izquierdo hay dos triángulos y un círculo, y en el derecho hay 20, entonces △ + △ + ○ = 20. Si además otro dibujo te dice que ○ = 6, sustituís: △ + △ + 6 = 20, o sea △ + △ = 14, y △ = 7.
La otra regla de la balanza es la de quitar parejo: si sacás una pesa de un plato, tenés que sacar el mismo peso del otro para que siga equilibrada. Eso es exactamente lo que hacés cuando restás 5 a los dos lados de una ecuación.
Ejemplos resueltos
1. ▢ + 26 = 71. ¿Cuánto vale el cuadro? Le sumaron 26, entonces se resta: 71 − 26 = 45. Comprobación: 45 + 26 = 71. ✔
2. ○ × 9 = 108. ¿Cuánto vale el círculo? Lo multiplicaron por 9, entonces se divide: 108 ÷ 9 = 12. Comprobación: 12 × 9 = 108. ✔
3. △ + △ + △ + 4 = 25. ¿Cuánto vale el triángulo? Primero quito lo suelto: 25 − 4 = 21. Quedan tres triángulos: 21 ÷ 3 = 7. Comprobación: 7 + 7 + 7 + 4 = 25. ✔
4. Una balanza equilibrada tiene en el plato izquierdo un cuadrado y dos pesas de 3 kg, y en el derecho una pesa de 11 kg. ¿Cuánto pesa el cuadrado? Traduzco: ▢ + 3 + 3 = 11, o sea ▢ + 6 = 11. Entonces ▢ = 11 − 6 = 5 kg. Comprobación: 5 + 3 + 3 = 11. ✔
5. En una expresión aparecen △ + ○ = 15 y se sabe que ○ = △ + △. ¿Cuánto vale cada figura? Sustituyo: △ + △ + △ = 15, entonces △ = 15 ÷ 3 = 5, y ○ = 5 + 5 = 10. Comprobación: 5 + 10 = 15. ✔
Los errores que más se cobran
- Tratar cada figura repetida como un número distinto. Si el triángulo aparece tres veces, es el mismo valor tres veces. Repartir 21 entre tres figuras «distintas» no tiene sentido.
- Usar la misma operación en lugar de la contraria. Ver un más y sumar. Se corrige preguntando qué le hicieron al número que falta, no qué signo se ve.
- Repartir antes de quitar lo suelto. En
△ + △ + 5 = 19, dividir 19 entre 2 da 9,5 y arruina el ítem. Primero se resta el 5. - Sacar de un solo plato en la balanza. Si quitás de un lado y no del otro, la igualdad se rompe y el resultado sale corrido.
- No comprobar. La comprobación es parte del procedimiento, no un lujo: es lo único que distingue un despeje correcto de uno que quedó con un signo cambiado.
- Cambiar figuras entre renglones. Si en un ítem el círculo vale 6, vale 6 en todo el ítem. Reasignarle otro valor más abajo es el error típico de los problemas con dos figuras.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: resolver una expresión donde el número que falta viene dibujado.
Tres preguntas para hacerle
- Si el triángulo aparece tres veces, ¿son tres valores? → No: es el mismo valor tres veces
- ▢ + 26 = 71, ¿cuánto vale el cuadro? → 45
- △ + △ + △ + 4 = 25, ¿cuánto vale el triángulo? → 7
Si se traba. Si reparte el total entre las figuras, pregúntele si el mismo dibujo puede valer dos cosas distintas.
Cinco minutos en la casa. Escríbale tres balanzas con figuras en una hoja y que las resuelva.
Clave de análisis
Todo se reconstruye con tres ideas y en este orden. Primera: la figura es la letra, así que cualquier dibujo con un espacio en blanco se traduce a una operación de una línea antes de tocar nada. Segunda: la misma figura vale lo mismo siempre, y por eso tres triángulos son «tres veces el mismo número», que se resuelve repartiendo. Tercera: se deshace con la operación contraria, y se comprueba metiendo el resultado en el dibujo original.
Si te trabás con una balanza, acordate de que solo está diciendo «esto pesa igual que aquello». Traducila a una igualdad y quedás con el mismo ejercicio de siempre. Y si la expresión mezcla figuras y números sueltos, aplicá el orden que no falla: primero quitar lo suelto de los dos lados, después repartir entre la cantidad de figuras.