Geometría
El círculo, π y las figuras compuestas
Al terminar vas a poder explicar qué es π y de dónde salió ese 3,14, calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo, decidir cuándo va el radio y cuándo va el diámetro, y sacar el área de una figura hecha de pedazos sumando y restando.
Qué es π, y por qué siempre da lo mismo
Agarrá cualquier cosa redonda: una tapa de olla, una rueda de carreta, un tarro de leche. Medí con una cinta el contorno y medí el ancho de lado a lado pasando por el centro.
Ahora dividí el contorno entre el ancho. Siempre da un poco más de 3, sea la tapa chiquita o la rueda grande. Ese número fijo se llama π y para la prueba se usa π = 3,14.
π no es una fórmula que haya que aceptar a ciegas: es cuántas veces cabe el diámetro en el contorno. Cabe tres veces y un pedacito.
Las partes del círculo, y cuál se usa en cada fórmula
El centro es el punto del medio. El radio (r) es la distancia del centro al borde. El diámetro (d) va de borde a borde pasando por el centro, así que el diámetro es dos radios: d = 2 × r.
De la definición de π sale directo la longitud de la circunferencia, que es lo que mide el borde:
C = π × d, o lo mismo, C = 2 × π × r
El área del círculo es la superficie de adentro, y la fórmula es A = π × r², donde r² quiere decir r × r.
En la longitud entra el diámetro; en el área entra el radio, y elevado al cuadrado. Confundirlos es el error número uno de este tema.
Por qué el área lleva el radio al cuadrado
Imaginá que partís el círculo en muchísimos gajos finitos, como una naranja, y los acomodás alternados, punta arriba y punta abajo. Con gajos muy finos eso se va pareciendo a un rectángulo.
La altura de ese rectángulo es el radio. La base es la mitad del contorno, o sea π × r. Entonces el área es π × r × r, que es π × r².
No hay que aceptar la fórmula de fe: sale de enderezar el círculo y medirlo como un rectángulo.
Figuras compuestas: sumar lo que está y restar lo que falta
Una figura compuesta es la que se arma con pedazos de figuras simples. En la prueba aparecen mucho: un rectángulo con un medio círculo pegado, un cuadrado con un pedazo recortado.
El método tiene tres pasos. Uno: reconocé de qué figuras simples está hecha. Dos: sacá el área de cada una por separado. Tres: sumá las que están y restá las que fueron recortadas.
Un medio círculo mide la mitad del círculo entero. La fórmula no cambia: se calcula el círculo completo y se divide.
Ejemplos resueltos
1. Una mesa redonda tiene 1,20 m de diámetro. ¿Cuánto encaje se necesita para bordearla? Bordear es la longitud de la circunferencia, y tengo el diámetro. C = 3,14 × 1,20 = 3,768 m, o sea un poco más de 3,76 m de encaje.
2. Un tanque circular tiene 5 m de radio. ¿Cuál es el área del piso? A = π × r² = 3,14 × 5 × 5. Primero 5 × 5 = 25. Después 3,14 × 25 = 78,5 m².
3. Un círculo tiene 14 cm de diámetro. ¿Cuál es su área? La fórmula pide radio, así que primero lo saco: 14 ÷ 2 = 7 cm. 7 × 7 = 49, y 3,14 × 49 = 153,86 cm².
4. Una figura está formada por un rectángulo de 8 de base y 4 de altura. Sobre el lado de arriba se recortó medio círculo de 8 de diámetro. ¿Cuál es el área que queda oscura? Área del rectángulo: 8 × 4 = 32. Radio del medio círculo: 8 ÷ 2 = 4. Círculo completo: 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24. La mitad: 50,24 ÷ 2 = 25,12. Lo que queda: 32 − 25,12 = 6,88.
5. Un patio es un cuadrado de 10 m de lado con un jardín circular de 3 m de radio en el centro. ¿Cuántos metros cuadrados quedan de cemento? Cuadrado: 10 × 10 = 100 m². Jardín: 3,14 × 9 = 28,26 m². Cemento: 100 − 28,26 = 71,74 m².
Los errores que más se cobran
- Meter el diámetro donde va el radio en el área. Como el radio va al cuadrado, usar el diámetro no duplica el resultado: lo multiplica por cuatro. Es el error que más distractores tiene puestos a propósito.
- Multiplicar π por el radio sin elevarlo al cuadrado. Eso da media circunferencia, no un área, y además queda en unidades de largo y no cuadradas.
- Olvidar dividir entre dos el medio círculo. Cuando la figura muestra media luna y calculás el círculo entero, el resultado sale al doble y suele coincidir con un distractor.
- Sumar cuando había que restar. Si el pedazo redondo está recortado o sombreado de blanco, no se suma: se quita. Lo que decide es qué parte pide el enunciado, no qué figuras aparecen.
- Usar 3 en lugar de 3,14. El examen fija π = 3,14 y los distractores están calculados con ese valor. Redondear de más te deja fuera de las cuatro opciones.
- Dar el resultado en metros cuando es área. Toda área lleva unidad cuadrada, aunque la figura sea redonda.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: calcular la circunferencia y el área del círculo sin confundir radio y diámetro.
Tres preguntas para hacerle
- Si dan el diámetro, ¿qué hay que hacer primero? → Dividirlo entre dos para tener el radio
- ¿Qué pasa si usa el diámetro en el área? → El resultado sale cuatro veces más grande
- ¿Qué es π? → Cuántas veces cabe el diámetro en la vuelta: unas 3,14
Si se traba. Si mete el diámetro en la fórmula del área, hágale escribir aparte el radio antes de calcular.
Cinco minutos en la casa. Midan con un cordel la vuelta y el ancho de una olla y que divida: le va a dar cerca de 3,14.
Clave de análisis
Todo este tema se sostiene en una idea: π es la razón entre el contorno y el diámetro de cualquier círculo. De ahí sale C = π × d sin paso intermedio, y de ahí sale C = 2 × π × r, porque el diámetro son dos radios.
Para el área, la imagen que la reconstruye es la del círculo partido en gajos y acomodado como rectángulo: base π × r, altura r, y por eso π × r². Si dudás de si va r o d, volvé a esa imagen: la altura es el radio, nunca el ancho completo.
En las figuras compuestas no hay fórmula nueva. Lo que cambia es el orden de trabajo: descomponer, calcular cada pedazo y decidir signo por signo si suma o resta. El error casi nunca está en la multiplicación, está en ese signo.