Figuras con escala y relaciones de dependencia
Al terminar vas a poder leer un dibujo hecho a escala y sacar las medidas reales, dibujar una figura a una escala dada, y decir en una situación cuál cantidad depende de cuál y por qué.
Qué es una escala
Un plano de la escuela no cabe en una hoja si se dibuja del tamaño real. Entonces se dibuja más pequeño, pero respetando las proporciones: todos los largos se achican lo mismo. Eso es dibujar a escala.
La escala se escribe así:
1 cm : 2 m
y se lee «cada centímetro del dibujo representa 2 metros de la realidad».
También se escribe con dos números, como 1 : 100, que quiere decir «cada unidad del dibujo son 100 unidades reales»: 1 cm en el papel son 100 cm de verdad, o sea 1 m.
Del dibujo a la realidad, y al revés
Del dibujo a la realidad se multiplica. Con escala 1 cm : 2 m, un lado que en el plano mide 3,5 cm mide en la realidad:
3,5 × 2 = 7 m
De la realidad al dibujo se divide. Una cancha de 20 m de largo, a escala 1 cm : 4 m, se dibuja con:
20 ÷ 4 = 5 cm
Un aviso importante: la escala se aplica a los largos, no directamente al área. Si el aula del plano mide 3,5 cm por 3 cm, el área del dibujo es 10,5 cm², pero el área real es 7 × 6 = 42 m². Para hallar el área real hay que convertir primero cada lado y recién entonces multiplicar.
Cantidades que dependen de otras
Dos cantidades están relacionadas por dependencia cuando el valor de una queda determinado por el valor de la otra. La pregunta que lo resuelve siempre es: ¿cuál manda y cuál obedece?
| situación | cantidad independiente (manda) | cantidad dependiente (obedece) |
|---|---|---|
| comprar pan a ₡600 la unidad | cantidad de panes | total a pagar |
| medir un lado en el plano | medida en el dibujo | medida real |
| caminar a paso constante | tiempo caminado | distancia recorrida |
| llenar un tanque con manguera | minutos abiertos | litros acumulados |
El total a pagar depende de cuántos panes comprás, y no al revés: vos no decidís primero el total y después cuántos panes salen. Cuando dudés, probá con la frase «si cambio esto, cambia aquello». Si funciona en un sentido y no en el otro, ya sabés cuál manda.
Hay cantidades que no dependen una de otra. La cantidad de hermanos de un estudiante y su estatura no se determinan entre sí: cambiar una no cambia la otra.
Ejemplos resueltos
1. Del plano a la realidad. En un plano con escala 1 cm : 2 m, el aula mide 3,5 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuánto mide de verdad y cuál es su área real?
- Largo real: 3,5 × 2 = 7 m.
- Ancho real: 3 × 2 = 6 m.
- Área real: 7 × 6 = 42 m².
2. De la realidad al plano. La cancha mide 20 m por 12 m y hay que dibujarla a escala 1 cm : 4 m.
- Largo del dibujo: 20 ÷ 4 = 5 cm.
- Ancho del dibujo: 12 ÷ 4 = 3 cm.
3. Escala numérica. Un mapa tiene escala 1 : 100. Una pared se dibujó de 4 cm. ¿Cuánto mide en la realidad?
- 4 × 100 = 400 cm, o sea 4 m.
4. Encontrar la escala. Un patio real de 18 m se dibujó con 6 cm. ¿Cuál es la escala?
- 18 ÷ 6 = 3, así que cada centímetro representa 3 metros: la escala es 1 cm : 3 m.
5. Identificar la dependencia. Un taxi cobra ₡700 de banderazo y ₡500 por kilómetro. ¿Qué depende de qué?
- La cantidad de kilómetros es la que manda: el pasajero decide a dónde va.
- El monto a pagar obedece: depende de los kilómetros recorridos.
- La relación es: monto = 700 + 500 × kilómetros. Con 4 km: 700 + 500 × 4 = 700 + 2 000 = ₡2 700.
6. Cantidades que no dependen. ¿Depende la estatura de un niño de la cantidad de hermanos que tenga?
- No. Si cambia la cantidad de hermanos, la estatura no cambia por eso. No hay dependencia entre las dos cantidades.
Los errores que más se cobran
- Multiplicar cuando había que dividir. Se pasa de la cancha real de 20 m al plano multiplicando por 4 y se dibuja de 80 cm. Pasa por aplicar la escala siempre en el mismo sentido. Del papel a la realidad se agranda (se multiplica); de la realidad al papel se achica (se divide).
- Aplicar la escala al área directamente. Del dibujo de 10,5 cm² se contesta que el área real es 21 m². Pasa por usar la escala una sola vez, cuando el área tiene dos dimensiones. Se convierte cada lado por separado y después se multiplica.
- Olvidar convertir las unidades de la escala. Con escala 1 : 100 se contesta que 4 cm son 400 m. Pasa por no leer que la escala numérica trabaja con la misma unidad a los dos lados: 4 cm × 100 = 400 cm = 4 m.
- Invertir la dependencia. Se dice que los kilómetros del taxi dependen de lo que se paga. Pasa porque en el recibo el monto aparece de último y parece la causa. La prueba es preguntarse qué se decide primero: el recorrido.
- Ver dependencia donde solo hay coincidencia. Se dice que la cantidad de hermanos determina la estatura porque en un grupo pequeño pareció cumplirse. Pasa por mirar pocos datos. Para que haya dependencia, cambiar una cantidad tiene que cambiar la otra siempre.
Clave de análisis
En una escala, del dibujo a la realidad se multiplica y de la realidad al dibujo se divide; si piden área, convertí primero cada lado. Para la dependencia, preguntate cuál cantidad se decide primero y cuál queda determinada: la que se decide es la independiente, la otra es la dependiente. Y si al cambiar una la otra no se mueve, no hay dependencia.